6.3 앰비폴러 전송(ambipolar transport) (2)

이전 장을 통해 앰비폴러 전송에서 전자와 홀 쌍의 움직임은 D & $\mu$에 의해 결정된다는 것을 배웠다.

 

 

이는 위에 보이는거와 같이 2차 편미분 방정식으로 전개되어 있어 직접 손으로 해결하기는 어렵다.

따라서 몇가지 상황을 추가적으로 가정하여 해결하도록 한다.

- 내부에서 excess carrier 의 생성이 없음 g' = 0

- 외부에서 가해주는 E-field 가없음 E = 0 (이때, 전자와 홀 사이의 내부 인력도 무시)

- steady-state condition 을 만족함. (시간에 따른 캐리어 농도의 변화가 발생하지 않음)

[$\frac{\partial \delta p(t,x)}{\partial t}=\frac{\partial \delta n(t,x)}{\partial t}=0$]

 

위의 세가지 가정을 이용하여 기존 식을 다시 정리하면 아래와 같이 나온다.

이때 각 D의 값들을 나누어

$\frac{\partial ^{2}\delta p(t,x)}{\partial x^{2}} - \frac{\partial p(t,x)}{D_{p}\tau _{p}}=0$, $\frac{\partial ^{2}\delta n(t,x)}{\partial x^{2}} - \frac{\partial n(t,x)}{D_{n}\tau _{n}}=0$ 으로 만들어 준다.

여기서 $D\tau = L^{2}$ 으로 치환시켜 식을 정리해 주면 최종적으로 정리된 수식이 나온다.

 

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이를 공업수학에서 배운 일반해 구하는 공식을 사용해 해를 구하면 다음과 같다.

 

 

 

그렇다면 위의 과정을 통해 나온 식을 통해 실제 예제를 한번 확인해 보도록 하겠다.

 

다음 아래의 사진에는 N-type의 Si이 존재한다.

이는 다음과 같은 가정상황을 지니고있다.

- E-field = 0 , generation = 0 , recombination = 존재

 

x = 0 지점에서 e-h (전자 홀 쌍) 이 빛을 받으며 생성되고 점차 확산을 하며 이동을 한다.

과잉 캐리어는 동일. 위치에 따른 농도의 변화

 

n(전자)의 경우 n-type 이므로 빛을 받음으로서 생기는 과잉 캐리어 농도가 전체 농도에 큰 영향을 미치지 못한다.

하지만 p(정공)의 경우 과잉 캐리어가 들어오면 전체 농도가 높게 증가하고, 확산을 통해 이동함에 따라 recombination이 되어 점점 감소되는 형태를 갖는다.

 

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이때의 형태를 수식으로서 해결하기 위해서는 아래의 식에서 경계조건을 사용하면 된다.

 

$x \to \infty$ 조건을 통해 A = 0 이라는 것을 확인 할 수 있다.

따라서 $\delta p(x) = Be^{-x/L_{p}}$ 식으로 정리가 된다.

여기서 B의 값을 확인하기 위해서 $\delta p(x) \to 0$ 조건을 사용하면 $B = \Delta p$가 나온다.

 

 

최종적인 식을 사용해 전류 속도를 구해보자.

(해당 식은 E-field 가 없다고 가정하였기에 $J_{drift}$는 발생하지 않는다.)

 

위와 같이 최종적으로 excess carrier 가 만들어내는 diffusion current 성분에 대한 식이 나오게 된다.