10.3.2 이상적인 전류 - 전압 특성

MOSFET는 MOS와 달리 Drain 전압을 가해줌으로써 Channel potential의 분포가 발생한다.

 

MOSFET

따라서 MOS의 inversion charge식인 $Q_{inv} = -C_{ox}(V_{T} - V_{T}) [C/cm^{2}]$에서 Channel Potential 이 포함된 값으로 수식 전개를 시켜주면 MOSFET의 inversion charge식이 나오게 된다.

$Q_{inv} = -C_{ox}(V_{GS} - V_{C}(x) - V_{T}) [C/cm^{2}]$ (MOSFET의 inversion charge)

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이렇게 얻은 $Q_{inv}$을 통해 이상적인 I - V model을 살펴보자.

우선 몇 가지 상황을 가정하고 넘어가 보면,

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1) $V_{G} > V_{T}$인 Channel 형성 상태이다.

2) Channel 내의 carrier mobility는 모두 일정한 값을 유지한다. (실제로는 아니지만 식의 단순화를 위해 가정한 사항)

3) Channel 내의 E-field는 일정하다. = gradual channel approximation

E-field는 Channel potential을 한번 미분해서 나온 값인 기울기 값이다. 따라서 기울기 값이 일정함을 가정하는 이야기다. 이런 가정은 유도하고자 하는 MOSFET의 채널 길이가 매우 길기에 구간별 기울기가 크게 변하지 않기에 유효하다고 볼 수 있다.

4) Channel 내에서의 전류는 drift로만 가능하다. diffusion으로도 가능하지만 이것까지 고려하면 복잡해지기에 우선은 무시한다.

5) Gate Oxide를 통한 누설전류가 없다. (마찬가지로 원래는 누설전류가 존재하지만 일단 무시한다.)

 

$I_{D}$ 대 $V_{DS}$ 관계 유도를 위한 MOSFET 구조

 

이렇게 가정한 5가지를 이용해서 이전 학기에 배운 전류 밀도 공식을 활용해준다.

전류밀도공식

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우선 흐르는 전류값을 구하기 위해 Z & Y에 대해서 적분을 해준다.

 

 

Z = Width를 나타내고, Y의 적분은 Channel에 있는 전자에 의한 전하밀도를 뜻한다.

적분을 통해 나온 값을 대입시켜주어 식을 정리하면 위와 같이 $I_{x} = -W\mu_{n} C_{ox} (V_{GS} - V_{T} - V_{C}(x))(-\frac {dV_{C}(x)}{dx})$로 나타난다.

여기서 dx를 좌변으로 이동시켜 $I_{x} dx = W\mu_{n} C_{ox} (V_{GS} - V_{T} - V_{C}(x))(dV_{C}(x))$ x에 대한 미방 = $V_{C}$에 대한 미방으로 만들고 각각의 변수에 대해 적분을 하면,

다음과 같은 식이 나온다.

 

위의 식에서 적분을 풀어 전개.

좌항을 I 에 대해서만 나타내기 위해 양변에 L을 나누어준다.

$V_{DS} < V_{GS} - V_{T}$

이렇게 되면 최종적으로 Drain current에 대한 식이 나타난다.

이는 $V_{DS} < V_{GS} - V_{T}$ 인 linear region에서 만족하는 식이다.

 

그렇다면 pinch - off인 $V_{DS} = V_{GS} - V_{T}$ 에서는 식이 어떻게 전개될까?

위의 식에 $V_{DS}$를 대입하면 

$V_{DS} = V_{GS} - V_{T}$

$V_{DS}$에 대한 항이 사라진 것을 통해서 해당 영역에서는 $V_{GS}$에 대해서만 전류값이 결정된다는 것을 유추할 수 있다.

 

$V_{DS} > V_{GS} - V_{T}$

마찬가지로 saturation region에서도 pinch - off 이후로는 전류값이 증가하지 않기에 전류 식이 동일하게 유지된다.

 

이를 그래프로서 확인해보면 아래와 같다.

n - channel MOSFET 의$V_{D} - I_{D}$

점선 = pinch - off

따라서 점선을 기준으로 왼쪽은 linear 영역, 오른쪽은 saturation 영역이다.

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다음으로는 Gate 전압 변경에 따른 전류값 변화를 살펴보도록 하겠다.

$V_{DS1}$ = 낮은 전압 , $V_{DS2}$ = 높은 전압

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$V_{DS} < V_{GS} - V_{T}$ = linear

$V_{DS} > V_{GS} - V_{T}$ = saturation

 

- Saturation mode에서는 $V_{DS}$가 전류에 영향을 주지 않기에 $V_{DS}$값이 무엇이든 동일한 $I_{D}$값을 갖는다. 그렇기에 동일한 곡선 그래프를 띠는 것을 확인 가능하다.

- linear mode에서는 같은 전압의 경우 $V_{DS}$의 값이 더 높을수록 전류값도 더 크게 나타난다.

따라서 MOSFET의 중요한 동작 영역인 linear & saturation 은 $V_{DS}$ 전압이 $V_{GS} - V_{T}$보다 크거나 작냐에 따라 결정이 된다.

 

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마지막으로, Transconductance ($g_m$)을 살펴보자.

$g_m$ 은 게이트 전압 변동에 따른 drain 전류 변화를 나타내는 척도로, $g_{m} = \frac {\partial  I_{controlled}}{\partial  V_{control}} = \frac {\partial  I_{D}}{\partial  V_{GS}}$이다.

이를 구하기 위해서는 위에서 구했던 식에서 $I_{D}$를 $V_{GS}$에 대해 미분을 하면 된다.

 

- linear

$V_{DS} < V_{GS} - V_{T}$

다음 식에서 미분을 해주면 $\mu_n C_{ox}(\frac {W}{L})V_{DS}$가 남게 된다.

이를 통해 $g_{m}$ 값은 $V_{GS}$에 따른 변화가 없다는 것을 유추할 수 있다.

 

- saturation

$V_{DS} > V_{GS} - V_{T}$

제곱의 값을 갖는 saturation에서의 전류값도 미분을 통해

다음과 같은 1차 선형식으로 정리가 된다.

 

그래프에 그려보면,

1. $V_{T}$이전까지는 값을 지니지 않는다.

2. saturation 영역에서는 1차 선형식 형태로 상승한다.

3. linear영역에 도달하면 일정한 값을 지니는 그림이 그려진다.