1.3 Exponential and sinusoidal signal

연속 신호의 지수함수는 $x(t) = Ce^{at}$로 나타난다.

여기서 a, 와 C의 값이 실수인지 복소수인지에 따라 달라진다.

 

- 실수 (a , C)

a) a>0 , b) a<0

C와 a 모두 실수의 값을 갖고 있을 경우 a>0 에서는 증가하는 그래프를, a <0 에서는 감소하는 그래프를 그린다.

 

- 복소 지수

이는 $x(t) = Ce^{at}$ 에서 승수가 복소수일 때를 말한다. ($a = j\omega _{0}$)

$\omega _{0}$ = 각속도 ($\omega _{0} < 0$ = 시계 반대 방향 , $\omega _{0} > 0$ = 시계 방향)

$x(t) = e^{j\omega _{0}t}$ (C=1이라 가정) 여기서 오일러 공식을 사용하여

$x(t) = cos\omega_{0}t + jsin\omega_{0} t$ 로 나온다. 이때의 주기는 $\frac {2\pi}{|\omega_{o}|} = T_{0}$로 구할 수 있다.

 

우리는 주기 함수의 정의를 통해

$e^{j\omega _{0}(t+T)} = e^{j\omega _{0} t} e^{j\omega _{0} T} = e^{j\omega _{0} t}$ 가 만족한다면 주기 함수임을 확인 가능하다.

해당 수식을 만족하기 위해서는 $e^{j\omega _{0} T} = 1$ 이 만족되어야 한다.

그러므로 $T_{0} = \frac {2\pi}{|\omega_{o}|}$ 을 대입하여 주면 $\theta = \omega_{0} t$ 수식을 이용해 $\theta$ 대신 $2\pi$가 들어가며 x축에 mapping이 된다. 그리고 해당 식의 반지름이 1을 갖기에 정리된 값도 실수 값 1로 나타난다.

$e^{j\omega _{0} T}$에서 $e^{j2\pi} = 1$

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$e^{j\omega _{0} t} = e^{j\omega _{0}(t+T)}$ 의 주기 함수가 나타난다.

따라서 x(t)는 기본 주기가 $T_{0}$인 주기 함수이다.

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$e^{j\omega _{0} t} = cos\omega_{0} t + jsin\omega_{0} t$

$e^{-j\omega _{0} t} = cos\omega_{0} t - jsin\omega_{0} t$

$cos\omega_{0} t = \frac {1}{2}(e^{j\omega _{0} t} + e^{-j\omega _{0} t})$

$sin\omega_{0} t = \frac {1}{2}(e^{j\omega _{0} t} - e^{-j\omega _{0} t})$

 

지수 부호성분에 따라 허수 성분이 바뀐다.

 

$x(t) = A cos(\omega_{0} t + \varphi)$

위상($\varphi$)의 존재함으로서 회전한 위치부터 식(원)이 시작한다.

 

위상을 적용한 식을 다시 정리하면

$Acos(\omega_{0}t+\varphi) = \frac {A}{2} e^{j\varphi} e^{j\omega _{0} t} + \frac {A}{2} e^{-j\varphi} e^{-j\omega _{0} t} = A Re\left\{ e^{j(\omega_{0} t + \varphi)} \right\}$(실수부)

 

$Asin(\omega_{0} t+\varphi) = \frac {A}{2} e^{j\varphi} e^{j\omega _{0} t} - \frac {A}{2} e^{-j\varphi} e^{-j\omega _{0} t} = A Im\left\{ e^{j(\omega_{0} t + \varphi)} \right\}$(허수부)

로 나타난다.

 

복소 지수 신호에서의 Energy 와 Power는 주어진 신호의 대표하는 값을 수치화로서 표현하고자 사용한다.

Energy는 무한한 값과 유한한 값을 가지나 무한한 값은 필요성이 없고, Power의 경우 유한한 값을 갖게 된다.

 

$E = \int_{t_{1}}^{t_{2}}|x(t)|^{2} dt$ = 여기서 |x(t)|는 절댓값이 아닌 크기이다.

$e^{j\omega _{0} t} = cos\omega_{0} t + jsin\omega_{0} t$

로 정의된 다음 수식을 통해 $E_{period}, P_{period}$값을 구해보자.

 

$E_{period} = \int_{0}^{T_{0}}|e^{j\omega _{0} t}|^{2} dt = \int_{0}^{T_{0}} 1 dt = T_{0}$ 로 나타난다.

($|e^{j\omega _{0} t}| = 1$의 크기(magnitude)를 지님.)

$P_{period} = \frac {1}{T_{0}}E_{period} = 1$이다.

($E_{period} = T_{0}$ 의 값을 지니므로 결괏값이 1로 나오게 된다.)

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연속신호

 

C&a = Complex number $C = |C|e^{j\theta}$, $a = r + j\omega_{0}$

a값을 $\theta$에 대입하여 식을 전개하면,

$Ce^{at} = |C|e^{j\theta} e^{(r + j\omega_{0})t} = |C|e^{rt} e^{j(\omega_{0} t + \theta)}$

로 나타난다.

앞의 $|C|e^{rt}$ 부분은 실수 부분으로 r에 따라 변화하며 크기 값에 영향을 준다.

반대로 $e^{j(\omega_{0} t + \theta)}$ 는 복소수 부분으로 크기 값에 영향을 주지 않는다.

a) r>0 , b) r<0

$Ce^{at} = |C|e^{rt}(cos\omega_{0} t + \theta) + j|C|e^{rt}(sin\omega_{0} t + \theta)$

 

이산 신호

 

연속에서와는 다르게 $x[n] = C\alpha^{n}$으로 표현한다.

이는 $e^(an)$의 경우 항상 양의 값을 갖기에 정보가 제한적인 반면 $\alpha ^{n}$의 경우 음수도 지닐 수 있어 더 많은 정보를 나타낼 수 있다.

하지만 연속에서는 사용불가능하다.

a) C>0 , $alpha$>1 (점차 증가)

b) C>0 , 0 <$alpha$<1 (점차 감소)

c) $alpha$<0 , |$alpha$| < 1  (와리가리 하면서 감소)

d) $alpha$<0 , |$alpha$| > 1 (와리가리 하면서 증가)

 

C & D 그림의 경우 음과 양의 값을 왔다 갔다 하는 형태로 그려지기에 CT(연속 신호)에서는 사용 불가능하다.

 

 

DT의 기본 주기 $N_{0}$값을 구해보자.

먼저 $e^{j\omega_{0}(n+N)} = e^{j\omega_{0} n} e^{j\omega_{0} N} = e^{j\omega_{0} n}$ 가 만족 시 정의에 의해서 주기가 n 인 주기 함수가 된다.

해당 값을 만족하기 위해서는 $e^{j\omega_{0} N} = 1$ 이 돼야 한다.

그러므로 $\omega_{0} N = 2\pi m$ (m=정수배)가 되고, $N = \frac {2\pi}{\omega_{0}}\times m$이다.

여기서 m은 N이 정수가 되도록 만드는 최소 정수 값을 뜻한다.

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예를 들어,

$x [n] = cos\frac {2\pi}{12} n$ 에서 기본 주기를 구하는 방법은

1. $\omega_{0} n = \frac {2\pi}{12} n = 2\pi m$ 이므로 $\omega_{0} n$이 $2\pi m$이 되기 위한 최소 m을 구한다.

2. $n = 12m$ 임을 확인하였고 이게 정수가 되기 위한 최소 m 값은 1로 나타난다.

3. 그러므로 기본 주기 $N_{0} = 12$가 된다.

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따라서 다음 사진과 같이 연속 & 이산 신호에 관한 식이 정리가 된다.

연속 신호 & 이산 신호

 

해당 수식을 이용하여 아래 사진의 이산 신호의 기본 주기를 확인해보자.

 

 

a) $\omega_{0} = \frac {2\pi}{12}$

$ \frac {2\pi}{12} n = 2\pi m$ , $n = 12m$ , $N_{0} = 12$

m = 1 (정수) 값으로 나오므로 기본 주기 값 $N_{0} = 12$이다.

 

b) $\omega_{0} = \frac {8\pi}{31}$

$ \frac {8\pi}{31} n = 2\pi m$ , $n = \frac {31}{4} m$ , $N_{0} = \frac {31}{4}$

m = 1 (정수)에서 $N_{0}$ 값이 정수로 나오지 않는다. 따라서 기본 주기가 정수 값으로 나오는 최소 정수인 m = 4에서의 기본 주기 값 $N_{0} = 31$이다.

 

c) $\omega_{0} = \frac {1}{6}$

$ \frac {1}{6} n = 2\pi m$ , $n = 12\pi m$ , $N_{0} =$ 정수 불가능 (주기 신호 X )

 

본래 연속 신호에서는 주파수가 낮은 파형의 주기가 더 높게 나온다. (주기 ↑ 주파수 ↓ or 주기 ↓ 주파수 ↑)

하지만 이산 신호에서는 그렇지 않은 경우도 존재한다.

위의 경우를 살펴보면 주파수가 a보다 b가 크기에 CT의 경우 주기가 b < a로 나타나야 하지만 DT에서는 a < b의 경우로 존재한다.