1.2 우함수 & 기함수

임의의 어떤 신호 x(t)는 항상 우함수와 기함수 신호의 합으로 표현이 가능하다.

여기서 우함수는 x(-t) = x(t) or x [-n] = x [n]의 함수이고, 기함수는 x(-t) = -x(t) or x [-n] = -x [n]이다.

우함수 , 기함수

우함수 = y축 대칭 , 기함수 = 원점 대칭의 특징을 갖고 있다.

 

$x(t) = x_{even}(t) + x_{odd}(t)$

우함수는 $x_{even}(t) = \frac {1}{2}(x(t) + x(-t)) = y(t)$ 로 표현되고, 이렇게 나온 y(t)에 -t를 대입하여 동일한 값이 나오면 even signal이다.

따라서 -t를 대입한 $y(-t) = \frac {1}{2}(x(t) + x(-t))$ 는 동일하게 값이 나오므로 even signal 임을 확인하였다.

 

기함수는 $x_{odd}(t) = \frac {1}{2}(x(t) - x(-t)) = y(t)$ 로 표현되고, y(t)에 -y(-t)를 대입하여 동일한 값이 나오면 odd signal이다.

따라서 -y(-t)를 대입한 $-y(-t)= \frac {1}{2}(x(t) - x(-t)) $는 동일하게 값이 나와 odd signal임을 확인 가능하다.

이렇게 나온 값들을 $x(t) = x_{even}(t) + x_{odd}(t)$ 에 넣어 정리를 하면 $frac {1}{2}(2x(t)) = x(t)$로 정리가 된다.

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복소수 표현

 

 

위의 함수는 각 크기, 거리 등의 값을 통해 표현이 가능하다.

$x(t) = \left| x(t) \right| \sqrt {Re^2(x(t)) + Im^2(x(t))}$

$\angle x(t) = tan^{-1}\frac {Im(x(t))}{Re(x(t))}$

$Re(x(t)) = \left| x(t) \right| cos(\angle x(t))$

$Im(x(t)) = \left| x(t) \right| sin(\angle x(t))$

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- 직교 형식 : 복소 신호의 합이나 차 계산 (실수, 허수)

=> x + yi (실수 + 허수 i)

$Re(x) = \frac {x(t) + x^*(t)}{2}$ (실수부)

$Im(x) = \frac{x(t) - x^*(t)}{2}$ (허수부)

ps. $x^*$ = 켤레 복소수로 허수의 부호를 바꾸어서 표현한다.

 

- 지수, 극형식 : 복소 신호의 곱셈, 나눗셈 계산

=> $Ae^{j\angle\theta}$ , $A\angle\theta$

지수 형식 (Exponential) $x(t) = \left| x(t) \right| e^{j\angle x(t)}$

극형식 (Polar) $x(t) = \left| x(t) \right|\angle x(t)$

-> 두 형식 중 나타내고자 하는 방식에 맞게 형태를 바꾸어 표현한다.

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연습 문제

 

지수 형식인지 판단하고, 만약 아닐시 지수형식으로 바꾸시오.

(정답인지는 불확실..)

1) $x(t) = jAe^{j2\pi 60t}$

=> 지수형식

 

2) $y [n] = 2^{-n} + j\sqrt {3}^{n}$

=> $\sqrt{(\frac {1}{4})^{n} + (3)^{n}}\times e^{jtan^{-1}2\sqrt {3}^{n}}$

 

3) $z(t) = 1 + e^{j5t}$

=> $\sqrt{(1+cos5t)^{2} + sin^{2}5t} \times e^{jtan {-1}(\frac {sin5 t}{1+cos5 t})}$

=> $\sqrt {2(1+cos5 t)} \times e^{jtan {-1}(\frac {sin5 t}{1+cos5 t})}$