1.1 연속 신호 와 이산 신호

신호 및 시스템에서 신호(Signal)와 시스템(System)에 대해 먼저 살펴보자.

 

신호(Signal)

 

- Continuous - time

시간을 축으로 데이터가 연속적으로 이어진 신호가 아날로그 신호(연속 신호)라고 불린다.

이는 자연계에 존재하는 모든 신호를 뜻한다.

 

Continuous - time

이때의 시간을 표현하는 독립변수는 t -> x(t)로, t=시간 , (소괄호) 로서 연속 신호임을 나타낸다.

 

 

 

- Discrete - time

시간축을 기준으로 보았을 때 데이터가 연속적이지 않고 비어있는 부분이 있다.

이러한 Sampling 과정을 통해 이산 신호를 만들어 낸다.

Discrete - time

이산 신호에서는 연속에서와는 다르게 시간으로 표현하는 것이 아닌 순서로서 표현한다. 이때의 독립변수는 n -> x [n]로, n=순서 , [대괄호] 로서 이산 신호임을 나타낸다.

 

따라서, x 축이 t 인지 n 인지에 따라 연속이냐 이산이냐를 파악 가능하다.

 

시스템(System)

 

입력을 원하는 출력 값으로 만들기 위해 어떠한 조작이나 처리를 해주는 장치를 뜻한다.

이는 수학적인 방정식으로서 표현되고, 이러한 방정식을 시스템(System)이라 칭한다.

다음과 같은 사진에서의 시스템 특성을 수식으로서 확인해보자.

$V_{S}(t) = Acos(\omega t + \theta)$

$omega$ = 각속도 , $\theta$ = 위상

여기서 $V_{C}$가 출력 값으로 이 값을 나타내기 위해서는 전압 분배 법칙을 이용하여 계산한다.

$H(j\omega) = \frac {V_{C}(j\omega)}{V_{S}(j\omega)} = \frac {\frac {1}{j\omega C}}{R +\frac {1}{j\omega C}} = \frac {1}{1+ j\omega RC}$

의 식으로 정리가 된다. 이때의 전압 이득 값인 Gain을 계산하면

$\left| H(j\omega)  \right| = \frac {1}{\sqrt {1+ \omega^{2} (RC)^{2}}}$ 다음과 같이 정리된다.

 

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- 종속 연결 = 각 부시스템들을 직렬로 연결한다.

- 병렬연결 = 각 부시스템들을 병렬로 연결한다.

- 궤환 연결 = 종속 연결의 특수한 경우로서 뒷 단 시스템의 출력이 다시 앞 단 시스템의 입력단으로 feedback 한다.

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신호의 정량화 된 크기

 

- Energy (E)

전기 회로 내에서의 에너지는 전력 = 전압 * 전류 공식이다.

이를 옴의 법칙을 통해 다시 정리해 준다.

$p(t) = v(t)i(t) = \frac {1}{R} v(t)^{2}$

 

이렇게 나온 전력 공식을 시간($t_1 ~ t_2$) 에 대해 적분하면

$E = \int_{t_1}^{t_2} p(t) dt = \frac {1}{R}\int_{t_1}^{t_2} v(t)^{2} dt$ 다음과 같이 나온다.

 

일반적으로 사용되는 Continuous - time (CT)와 Discrete - time (DT)에서의 에너지 수식은 다음과 같다.

 

Continuous - time (CT)

연속 신호의 경우 시간에 대한 함수이므로 적분 기호를 사용한다.

 

$E = \int_{t_1}^{t_2}\left| x(t)  \right| ^{2} dt$

$E_{\infty} = \displaystyle \lim_{ T \to \infty}\int_{-T}^{T}\left| x(t)  \right| ^{2} dt = \int_{-\infty}^{\infty}\left| x(t)  \right| ^{2} dt$

 

Discrete - time (DT)

이산 신호의 경우 순서에 대한 함수이므로 Sigma를 사용한다.

 

$E = \sum_{n_1}^{n_2}\left| x [n]  \right| ^{2} dt$

$E_{\infty} = \displaystyle \lim_{ N \to \infty}\sum_{n=-N}^{N}\left| x [n]  \right| ^{2} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| x [n]  \right| ^{2}$

 

- Power (P)

전기 회로 내에서의 평균 Power

$P = \frac {1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} p(t) dt = \frac {1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\frac {1}{R} v(t)^{2} dt$

 

연속 신호의 평균 Power

$P_{\infty} = \displaystyle \lim_{ T \to \infty}\frac {1}{2T}\int_{-T}^{T}\left| x(t)  \right| ^{2} dt = \displaystyle \lim_{ T \to \infty}\frac {E_{\infty}}{2T}$

다음과 같이 나오며, 에너지에 대한 식을 시간에 대해 나누어 준다.

이를 통해 평균 전력과 에너지 간의 관계식이 생성된다.

 

이산 신호의 평균 Power

$P_{\infty} = \displaystyle \lim_{ N \to \infty}\frac {1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}\left| x [n]  \right| ^{2} $

 

평균 전력과 에너지 간의 관계식에서 세 가지 경우가 발생하게 된다.

1) $E_{\infty} < \infty => P_{\infty} = 0$

2) $P_{\infty} < \infty => E_{\infty} = \infty$

3) $E_{\infty} = \infty , P_{\infty} = \infty (x(t) = t)$

 

여기서 1번의 경우 E = 유한의 값을 지니어 P가 0이 된다.

$P_{\infty} = \displaystyle \lim_{ T \to \infty}\frac {E_{\infty}(<\infty)}{2T(=\infty)} = 0$

 

반대로 2번의 경우 P = 유한의 값을 갖기 위해서는 E = 무한 이어야 가능하다.

$P_{\infty} = \displaystyle \lim_{ T \to \infty}\frac {E_{\infty}(=\infty)}{2T(=\infty)} < \infty$

 

3번의 경우는 중요하지 않으니 넘기겠다.

 

따라서, P = 0 이 되기 위해서는 E = 유한이고, P = 유한 이 되기 위해서는 E = 무한이다.

여기서 나오는 P = 유한 -> 신호 표현& 정량화할 때 유용하게 사용 가능하니 인지하자.

 

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1.2 독립 변수의 변형

 

- 시간 이동 (Time Shift)

$n_{0} > 0$ 에서의 이산 신호

$t_{0} < 0$ 에서의 연속 신호

 

다음 사진들과 같이 $n_{0} , t_{0}$가 존재하면 해당 수치만큼 함수 이동을 나타낸다.

이때 양수는 오른쪽으로, 음수는 왼쪽으로 이동하였음을 뜻한다.

 

- 시간 반전 (Time Reversal)

x(-t) 에서의 연속 신호

x[-n] 에서의 이산 신호

y 축을 기준으로 신호가 flip 되는 시간 반전이다.

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- 시간 스케일링 (Time Scaling)

 

 

x(t) -> x(at)로 a라는 계수가 추가되는 독립변수 변환이다.

이때 a의 값에 어떤 값이 들어오느냐에 따라 시간의 압축 & 팽창으로 표현된다.

 

Compression : a > 1

시간 축을 압축한 것으로 사진상에서 2번째 그래프이다.

이는 x(t) -> x(2t)로 변수가 변환된 그래프이고, 동영상이 2배속으로 재생되고 있다고 보아도 무방하다.

따라서 시간 압축이 발생한다.

 

expansion : 0 < a < 1

마찬가지로 동영상이 절반의 속도로 재생되면서 시간의 팽창이 발생한다.

 

Reversal : a = -1 (위에서 보았듯 시간 반전이다.)

 

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마지막으로, 임의의 t or n에 대해 다음을 만족하는 양수 T or N 이 있다면 주기 신호이다.

$x(t) = x(t+T)$

$x [n] = x [n+N]$

여기서 N 은 반드시 정수 값을 갖는다.

이때의 주기 함수는 모든 시간에 대해서 성립해야만 주기 함수임을 확실히 인지하자!

주기함수가 아닌경우

 

 

Fundamental Period (기본 주기)는 주기중 가장 작은 값($N_{0} , T_{0}$)을 이야기한다.

위의 사진의 경우 $T_{0} = T$(주기)이다.

 

마찬가지로 사진의 경우는 $N_{0} = 3$임을 확인 가능하다.