7.2 제로 인가 바이어스 (2)

반도체 해석을 하는 데 있어서 가장 먼저 구해야 하는 값은 Charge density ($\rho$) 이다.

 

이는 포아송 방정식과 가우스 법칙을 살펴보면 알 수 있는데,

가우스 법칙은 $\frac{dE}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon _{s}}$이다.

이 미분형 가우스 법칙을 전기장에  $E = -\frac{dV}{dx}$으로 나타낸 식을 대입해 주면

$\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = -\frac{\rho}{\varepsilon _{s}}$ = 포아송 방정식

으로 나타내 줄 수 있다.

 

그러므로 반도체 소자 내에서 어느 부분에 + , - charge 가 있는지 판단 후 $\rho$ 값을 구하면,

E-field값을 찾고, 포텐셜 값을 수식으로 찾아내어 EB = -qV [eV]인 에너지 밴드 값이 계산된다.

 

이 방식은 모든 반도체에서 적용 가능한 순서이기에 기억해두도록 하자.

 

아래의 사진은 $-x_{p},x_{n}$ 영역이 고정 전하가 존재하는 depeletion region이다.

또한, 이외의 영역은 모두 확산으로 인해 재결합된 중성 영역이다.

열평형상태의 pn junction

 

이를 depletion approximation을 적용하여 경계면이 딱 떨어지게 그림으로 나타내면 아래와 같다.

 

 

 

우선 위에서 이야기하였듯 $\rho$의 값을 먼저 찾아보면, $\rho = -qN_{A}$(p),  $\rho = qN_{D}$(n)이다.

이후 해당 값을 $\frac{dE}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon _{s}}$ 에 대입하여 식을 전개한다.

이때, ${\varepsilon _{s}}$ 는 실리콘의 유전율 값($\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$)을 나타낸다.

 

- p side의 depletion region.

$E(x) = -q\frac{qN_{A}}{\varepsilon _{s}}x + C_{1}$ 이다.

여기에 적분 상수로 나온 $C_{1}$ 값을 없애기 위해서는 경계조건인 $x = -x_{p} , E = 0$를 대입해준다.

이렇게 정리된 식은 $E(x) = -q\frac{qN_{A}}{\varepsilon _{s}}(x + x_{p})$ 이다.

 

 

- n side의 depletion region.

$E(x) = q\frac{qN_{D}}{\varepsilon _{s}}x + C_{1}$ 이다.

여기에 적분 상수로 나온 $C_{1}$ 값을 없애기 위해서는 경계조건인 $x = x_{n} , E = 0$를 대입해준다.

마찬가지로 정리된 식은 $E(x) = q\frac{qN_{D}}{\varepsilon _{s}}(x - x_{n})$ 이다.

 

균일하게 도핑된 pn 접합의공간전하 영역에서의 전계

 

전계는 금속적인 접합으로 x = 0에서 연속의 성향을 띄게 된다. 그렇기에 x = 0을 n & p side E(x)에 대입하면,

$N_{A}x_{p} = N_{D}x_{n}$ 이다.

이는 도핑 농도가 증가할수록 depetion region의 폭은 좁아지고, 반대로 도핑농도가 감소할수록 depletion region의 폭은 넓어질 것이라는 반비례 관계를 확인 가능한 수식이다.

 

p & n type 의 사각형 넓이는 같다.

 

따라서 $N_{A}x_{p} = N_{D}x_{n}$ 공식을 통해 p&n 서로의 넓이는 항상 같게 그려짐을 볼 수 있다.

 

지금까지 E-field에 대한 p n side 수식을 살펴보았다.

위에서 보았듯이 가우스 법칙을 이용하여 이렇게 구한 E를 적분해 $V = - \int E dx$ 와 같이 V를 나타낸다.

 

pn 접합 양단의 전위차는 절대 전위가 아닌 중요한 파라미터 이므로 임의로 $x = -x_{p}$ 에서 전위를 0으로 놓아도 된다.

 

균일하게 도핑된 pn 접합의 공간전하 영역 전체에 걸친 전위

 

- p side

$V(x) = \frac{qN_{A}}{2\varepsilon _{s}}(x + x_{p})^{2} + D_{1}$

여기서 $D_{1}$ 은 적분 상수로 경계 조건을 대입함으로 해당 값을 소거해준다.

경계조건은 위에서 이야기하였듯 $x = -x_{p}$ 에서 V = 0의 값을 대입하여 $D_{1}$은 사라짐을 알 수 있다.

 

- n side

$V(x) = -\frac{qN_{D}}{2\varepsilon _{s}}(x_{n} - x)^{2} + D_{2}$

마찬가지로 $D_{2}$ 는 적분 상수로 경계 조건을 대입함으로 해당 값을 소거해준다.

이때 경계 조건을 보면, $x = x_{n}$ 에서 전위의 크기가 내부 전위 장벽 ($V_{bi}$)와 같음을 그림을 통해 확인 가능하다.

따라서 해당 조건을 대입시켜 주면 식은

$V(x) = V_{bi} - \frac{qN_{D}}{2\varepsilon _{s}}(x_{n} - x)^{2}$ 로 정리 가능하다.

 

추가적으로 x = 0에서 연속이어야 한다는 조건을 대입하여 p & n side 식을 정리 하면,

 

 

다음과 같이 나온다.

여기서 변수를 더 줄이고자 하기 위해 우리는 위에서 나온 수식 $N_{A}x_{p} = N_{D}x_{n}$ 가 적용 가능하다.

 

$x_{p}$ 없이 수식 정리

 

$x_{n}$ 없이 수식 정리

 

이렇게 정리된 각 side 별 depletion 거리를 더해주면 총 공핍 폭, 즉 공간 전하 폭 W로 표현 가능하다.

$W = x_{n} + x_{p} = \sqrt {\frac{2\varepsilon _{s}V_{bi}}{q}(\frac{1}{N_{A}} + \frac{1}{N_{D}})}$

최종적으로 나온 수식을 통해서 아까 보았던 도핑의 농도가 커질수록 depletion region 폭이 줄어든다는 것을 수식적으로 확인할 수 있다.

 

만약, $N_{A} >> N_{D}$ 인 $p^{+} n$ junction의 경우

$\frac{1}{N_{A}}$ 는 0에 수렴하는 값을 갖기에 소거하여 계산을 하면 아래와 같이 식이 나온다.

($x_{p}$ 는 0에 아주 가까운 값을 갖는다.)

 

$E_{max}$ : x=0 지점에서 E-field 세기가 최대로 나오게 된다.

 

이 값을 구하기 위해서는 p & n side의 E(x) 값에 $x=0 , x_{n}, x_{p}$ 를 대입하여 구해주는 방법이 존재한다.

 

하지만 E-field와 포텐셜 사이의 관계를 알고 있는 경우 더욱 쉽게 구할 수 있다.

밴드의 전체 휘어짐 = $V_{bi} = \left| \int E dx \right|$

(여기서 절댓값을 사용하는 이유는 부호를 생각하지 않고 계산하기 위해서이다.)

우리는 위의 그림을 통해 E - field의 단면도는 삼각형 모양으로 나오는 것을 확인 가능하다.

그러므로 해당 삼각형 넓이를 적분한 면적이 $V_{bi}$ 값이 된다.

W = 삼각형의 폭 , $E_{max}$ = 삼각형의 높이를 이용해

=> $\frac{1}{2} \left| E(0) \right| W $ 로 구해낼 수 있다.

($E(0) = E_{max}$)

 

따라서 다음과 같이 $E_{max}$ 에 대한 식이 정리 가능하다.