7.2 제로 인가 바이어스 (1)

이전 장에서 PN junction 이 되면서 밴드가 휘어진다는 것을 알게 되었다.

그렇다면 밴드는 왜 휘어지게 되는 것일까?

 

아래의 사진은 p와 n 타입의 에너지 밴드 다이어그램을 나타낸 것이다.

P와 N의 에너지밴드 다이어그램

 

사진을 보면 p와 n타입 사이의 페르미 레벨($E_{F}$)에 차이가 생기는 것을 확인할 수 있다.

그리고 우리는 열평형 상태에서 pn junction 페르미 레벨은 수평을 유지해야 함을 기억하고 있다.

이 두 가지를 이어서 생각하면 두 타입 사이의 차이를 맞추기 위해 밴드가 휘어지게 된 것이라는 것을 유추할 수 있다.

 

이때 발생하는 휘어짐의 크기를 알기 위해서는 이전 물리전자공학 챕터를 통해 배운 위의 공식을 사용하여 각각의 페르미 레벨과 진성 페르미 준위 사이의 차이를 더해주면 된다.

 

$n_{0} = N_{c}e^{-\frac{E_{c} - E_{F}}{kT}} = n_{i}e^{-\frac{E_{F} - E_{i}}{kT}} $

$ p_{0} = n_{i}e^{-\frac{E_{i} - E_{F}}{kT}} $

 

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위의 과정을 통해 구한 휘어짐의 크기의 값인 $(E_{i} - E_{F})_{p-side} + (E_{F} - E_{i})_{n-side}$ 는 $qV_{bi}$ .

내부 전위 장벽 (built-in potential barrier) 라고 부른다.

 

 

열평형에 있는 pn접합의 에너지밴드 다이어그램

 

여기서 내부 전위 장벽에 q 값을 곱해준 이유가 궁금한 사람이 있을것이다.

 

이는 에너지 밴드 사이 거리 단위는 [eV]이지만 내부 전위 장벽인 $V_{bi}$ 의 단위는 [V]이다. 따라서 q를 곱해줌으로써 두 식 사이의 단위를 통일시켰다.

만약 q가 존재하지 않는 식을 마주한다면 해당 $V_{bi}$의 단위는 [V]가 아닌 [eV]로 사용 중인 것임을 인지하고 넘어가자.

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유의해야 할 부분은 이는 볼츠만 근사가 유효한 경우에만 사용 가능하다.

볼츠만 근사는 도핑 농도가 낮을 때 유효한데 이는 이전에 작성했던 내용에서 확인이 가능하다.

이를 미루어 보았을 때 반대의 경우인 도핑 농도가 높다면 볼츠만 근사가 불가능하기에 위의 공식은 사용이 불가능하다.

 

$(E_{i} - E_{F})_{p-side} = kTln(\frac{p}{n_{i}}) = kTln(\frac{N_{A}}{n_{i}})$

$(E_{F} - E_{i})_{n-side} = kTln(\frac{n}{n_{i}}) = kTln(\frac{N_{D}}{n_{i}})$

 

이때 식에서 이야기하는 $N_{D}$ 와 $N_{A}$ 는 앞장에서 이야기한 순수 도너와 억셉터 농도라는 사실을 알아야 한다.

 

위의 과정으로 나온 식들을 $(E_{i} - E_{F})_{p-side} + (E_{F} - E_{i})_{n-side}$ 로 합하면

 

$kTln(\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}} = qV_{bi}$ 로 전개된다.

이를 내부 전위 장벽에 대한 식으로 정리하면

$V_{bi} = \frac{kT}{q} ln\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}$ 이다.

$\frac{kT}{q}$ = thermal voltage[V] = 열전압 (자주 사용되는 식이니 기억하자!)

 

이는 볼츠만 근사가 적용 가능한 도핑 농도에서 정리된 식이고, 이와 반대로 볼츠만 근사가 적용되지 않는 구간에서 pn junction은 둘 중 도핑이 더 높은 타입에 $p^{+}n$ 혹은 $pn^{+}$와 같이 + 부호를 추가하여 구분한다.

만약, $p^{+}n$ (p-type의 도핑 농도가 매우 큼)의 경우 볼츠만 근사는 적용되지 않아 

$qV_{bi} = (E_{i} - E_{F})_{p-side} + (E_{F} - E_{i})_{n-side}$ 에서 p-side의 차이를 구할 때 어려움이 생긴다.

따라서 다음과 같은 경우 $(E_{i} - E_{F} = E_{G}/2$ 로 가정하여 대략적으로 근사한 값을 사용한다.

식을 대입하면, $qV_{bi} = E_{G}/2 + (E_{F} - E_{i})_{n-side}$

 

마찬가지로 n 타입은 $qV_{bi} = (E_{i} - E_{F})_{p-side} + E_{G}/2$ 이다.

 

결과적으로 이렇게 근사한 값을 사용하는 것이 더 정확한 연산 값을 도출할 수 있다.