8.1 pn 접합 전류 / 소수 캐리어 분포

앞장에서 forward bias가 인가되었을 때 전자는 P로 정공은 N으로 이동한다는 것을 확인하였다.

 

forward bias 가 인가 되었을 때 excess 캐리어 농도

 

따라서 이번 장에서는 위치에 따라 어떤 분포로 농도가 감소하는지에 대해 수식적으로 알아보도록 하자.

 

먼저 중성 영역에서의 연속 방정식은 다음과 같다. (이전 포스팅 첨부)

 

 

이렇게 나온 연속 방정식에서 pn junction 가정들을 통해 식을 단순화시킨다.

- E - field = 0 (delpetion region 에만 외부로부터의 전압이 가해진다.)

- no generation (원래는 둘 다 가능하지만 식을 단순화 하기 위해 중성 영역에선 recombination 만 가능하다고 가정)

- steady - state condition (excess carrier의 농도는 시간에 따라 변하지 않는다. $\frac {dn}{dt} = \frac {dp}{dt} = 0$

이 가정들을 위의 연속 방정식에 대입하면,

단순화 된 연속방정식

위와 같이 정리가 가능하다.

이 식을 통해 중성 영역에서는 excess carrier 가 recombination 되며 점점 diffusion 됨을 유추할 수 있다.

여기서 $D_{p} , D_{n}$을 나누어 diffusion length로 나타내고,

 

 

이를 미분 방정식을 통해 일반해 꼴로 나타내면

이와 같이 나온다.

이제 해당 값의 A & B 계수를 찾기 위해서는 경계조건을 대입해 주면 된다.

 

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경계 조건은 이전 장에서 이야기하였듯 depletion region 경계와 Junction에서 무한히 떨어진 부분을 대입한다.

 

depletion region 경계에서의 excess carrier 농도

 

Juncion에서 무한히 떨어진 곳에서의 excess carrier 농도

 

이때, 긴 pn 접합(long pn-diode)이라는 가정을 해준다. ($W_p >> L_n$ , $W_n >> L_p$)

이는 forward bias를 인가하여 전자가 p-type으로 건너왔을 시 전자가 diffusion 하며 이동하는 거리보다 $W_p$의 중성 영역이 충분히 길어 excess carrier가 -무한 영역으로 갔을 때 전부 recombination 되어 사라짐을 뜻한다.

반대로 짧은 pn 접합의 경우도 존재하는데 이는 잠시 후에 이야기하고 다시 본문으로 돌아와,

 

excess carrier의 연속방정식 일반해

 

해당 excess carrier 일반 해의 계수를 구하기 위해 위의 경계조건들을 대입해보자.

1) $x = +\infty $

A = 0 임을 확인 가능하다.

=> $\delta p_n(x) = Be^{-\frac {x}{L_p}}$

 

2) $x = +x_n$

-> $\delta p_n(x) = p_{n0}(e^{\frac {qV_a}{kT}} -1)$

 

이렇게 나온 두 경계조건의 $\delta p_n(x)$ 에 대해 서로 식을 풀어보면,

$Be^{-\frac {x}{L_p}} = p_{n0}(e^{\frac {qV_a}{kT}} -1)$

-> $B = p_{n0}(e^{\frac{qV_a}{kT}} -1) e^{\frac {x}{L_p}}$

=> $\delta p_n(x) = p_{n0}(e^{\frac {qV_a}{kT}} -1) e^{\frac {x_n-x}{L_p}}$

로 나오게 된다.

 

마찬가지로 p에 대한 식도 정리해주면 된다.

forward bias 에서의 excess carrier 분포 수식

 

이렇게 나온 함수를 통해 forward bias가 인가된 pn junction 내에서 diffusion current 계산이 가능해진다.

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아까 언급 하였던 짧은 pn 접합 (short pn-diode)인 경우에 대해 이야기 하겠다.

 

short diode

 

이는 어느 한쪽이 짧은 길이를 갖게 되면 경계조건이 바뀌게 된다.

기존에 존재하였던  $\delta p_{n} (+\infty) = 0 $ 와 같은 조건은 충분한 길이가 존재할 경우 excess carrier 가 0 이 됨을 가정하지만, 다음 그림과 같이 $x_n$ 과 $W_n$이 매우 짧을 때에는 pn junction의 양 끝 경계면에 존재하는 금속 전극과 맞닿아 전부 recombination 된다.

따라서 $\delta p_{n} (x_n+W_n) = 0 $ 이 된다.

이러한 조건으로 계산 시 과정에서 복잡함이 있지만 수식적으로 표현하면,

이다.

 

$W_n << L_p$ 일 때 $\frac {W_n}{L_p} << 1$ 이므로 $sinh(\frac {W_n}{L_p}) \approx \frac {W_n}{L_p} $이다.

따라서 x에 대한 1차식 형태로 바뀐 식으로 정리가 된다.

forward bias가 걸린 short diode 에서의 excess carrier 농도