본격적으로 들어가기 앞서 MOS에 등장하는 여러 파라미터들의 정의와 의미를 알아보도록 하자.
1) 실리콘에서의 Potential $\phi (x)$
여기서 surface potential ($\phi_{s}$)는 oxide와 si 사이의 경계면(x = 0)에서 si 반도체의 $E_{i}$를 기준으로 휘어짐 정도의 값을 나타낸 값이다.
실리콘에서의 potential이 다음과 같이 분포하고 있을 때 전체 휘어짐의 정도가 $\phi_{s}$이다.
2) Depletion width
MOS에서 oxide와 si 사이의 경계를 surface라고 이야기하였었다.
반대로 surface로부터 멀리 떨어진 지점을 bulk라고 부른다.
여기서 알아볼 정의는 $\phi_{fp}$. bulk에서 $E_{Fi} - E_{F}$의 차이이다.
이는 정공의 농도를 통해서도 유추가 가능하다.
$P_{0} = n_{i} exp(\frac {E_{i} - E_{F}}{kT})$
$E_{i} - E_{F} = kTln(\frac {N_{a}}{n_{i}})$
$\phi_{fp} = \frac {E_{i} - E_{F}}{q} = \frac {kT}{q} ln(\frac {N_{a}}{n_{i}})$
이렇게 정공의 농도를 통해서 $\phi_{fp}$로 표현이 가능하다.
depletion region의 폭의 경우 MS junction과 유사한 수식을 지닌다.
이때 MS junction과 pn junction에서는 $V_{bi}$로 휘어짐의 정도가 정의되었지만, MOS에서는 $\phi_{s}$로 사용하여 depletion width를 구한다.
$x_d = \sqrt {\frac {2\varepsilon_{s}\phi_{s}}{qN_{a}}}$
3) Threshold voltage
문턱 전압 = 어떤 현상이 급격하게 변하는 시점을 뜻한다.
이 시점은 $\phi_{s} = 2\phi_{fp}$ 인 순간이 Threshold 시점이다.
이전 장을 통해 확인하였듯, 게이트에 아주 강한 + 전압을 인가하면 전자들이 경계면 근처로 모여 n-type 반도체와 같은 Inversion 현상이 일어난다.
이때의 반도체 경계면(surface potential)에서의 전자 농도는 $n_{s} = n_{i} e^{\frac {E_{F}-E_{i}}{kT}}$이다.
bulk에서의 홀 농도는 $p_{0} = n_{i} e^{\frac {E_{i}-E_{F}}{kT}} = n_{i} e^{\frac {q\phi_{fp}}{kT}}$이다.
이렇게 surface에서의 전자 농도와 bulk에서의 홀의 농도가 같아지는 시점($\phi_{s} = 2\phi_{fp}$)이 Threshold voltage이다.
따라서 이때의 depletion width는 다음과 같고, 문턱접압의 순간이 최대의 수치를 갖는 순간이다.
MOS에서는 $V_{G} \neq \phi_{s}$. 외부에서 전압을 가해준 만큼 포텐셜이 바뀌지 않는다.
그 이유는 물질 3개가 접합 상태이기에 $V_{G}$에 전압을 주면 Oxide와 Semiconductor에 나누어져 분배가 되기 때문이다.
4) Inversion carrier concentration
위에서 문턱전압의 순간 최대의 depletion region width를 지닌다고 하였다.
그렇다면 왜 최대치 값을 갖는 것일까?
결론부터 말하면 이는 외부에서 큰 전압을 주어도 surface potential에는 거의 변화가 없고 나머지 전압은 Oxide 전압 추가에 사용하기 때문이다.
만약, $V_{G} = V_{T}$ (문턱전압) 이상으로 전압 인가시 $\phi_{s}$ = constant(실제로는 조금씩 변화하지만 큰 변화는 없다.)를 지닌다.
이 수식을 아래의 그래프와 함께 살펴보자.
(Si에 $N_{a} = 10^{16} [cm^{-3}]$만큼 도핑한 것을 가정한 그래프.)
따라서 $2\phi_{fp}$만큼의 surface potential이 휘어지면 $n_{s}$가 딱 도핑 농도만큼 된다는 것을 확인 가능하다.
또한, $2\phi_{fp}$에서 아주 작은 전압만 주어도 $n_{s}$의 값은 급격하게 변한다.
결국 MOS 구조는 capacitor이다.
중간에 oxide 가 있고 gate가 있기에 전류가 흐르지 못하고 E-field만 흐르는 일반적인 capacior와 동일하다.
따라서 $V_{G} = V_{T}$에 전압을 인가하고 이때 형성된 전하(+Q)만큼 대응하는 수치가 반대쪽에 - 전하(-Q) 값만큼 Inversion charge가 형성된다.
문턱 전압 이상으로 인가하면 +Q가 $Q + \Delta Q$만큼 증가하고, 그만큼 Inversion charge가 추가되어야 한다.
여기서 위의 그래프에서 알려준 사실인 아주 작은 전압만 변해도 $n_{s}$값이 급격하게 변하기에 Gate 전압을 추가적으로 주어도 surface potential은 거의 변화가 없다는 이야기다.
그렇기에 추가적으로 인가한 나머지 전압은 Oxide 쪽의 전압을 추가하는데 쓰인다.
따라서 다음 수식에서 $V_{G} > V_{T}$ 의 값을 주어도 더 이상의 변화가 없기 때문에 최댓값이 되는 것이다.
5) Work function difference
MOS에서는 $E_{Fm}$와 $E_{Fs}$의 차이가 Oxide와 Silicon의 에너지 밴딩에 나눠져 들어간다.
그렇다면 이렇게 나눠져서 들어간 $\phi_{ms} = V_{ox0} + \phi_{s0}$의 값과 수식적으로도 동일할까?
- $\chi^{'} ,\phi_{m}^{'}$ -> Oxide 만큼의 전자 친화도 값을 뺀 값
다음 다이어그램에서의 수치들을 색깔로서 식에 표현하여 정리를 하였다.
이때 원래 상황이 $\phi_{m}$ 보다 $\phi_{s}$가 더 큰 상황이기에 음수(-)가 붙어서 나온다.
따라서 이렇게 정리를 하면 결과적으로 동일한 값이 나오는 것을 확인 가능하다.
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