4.3.4 축퇴와 비축퇴 반도체

4.3.4 축퇴와 비축퇴 반도체

 

축퇴 반도체는 매우 높은 농도로 도핑된 반도체로 어떤 물리적 상태가 같은 에너지 준위를 가질 때 발생한다.

실리콘의 경우 약 $10^{19}$ 이상의 농도부터로, 농도가 늘어날수록 도너들 사이의 간격이 좁아지며 도너 원자끼리 상호작용을 한다.

이때, 점점 촘촘해지던 도너 원자들이 파울리 배타 원리로 인해 Split을 하며 마치 에너지 밴드처럼 특정 에너지 대역을 형성하고, 계속 누적됨을 통해 전도대까지 오버랩이 될 수 도있다.

 

확률함수

 

위의 공식은 앞서 배운 공식인 페르미-디락 확률 함수이다.

$E - E_{F} >> kT$ 라는 볼츠만 근사 조건을 통해 간소화하였지만, 축퇴 반도체의 경우에는 $E - E_{F} >> kT$ 가 적용 불가능 (페르미 레벨이 전대도 내부에 존재) 하기에 볼츠만 근사 & mass - action law 를 사용할 수 없음을 인지하자.

 

          축퇴 반도체의 상태밀도, 확률함수          (빨간지점으로 페르미 레벨이 축퇴되어있다)

 

따라서, 전자 농도 $n_{0}$ 또한 볼츠만 근사 없이 공식을 전개한다.

 

축퇴 반도체에서 전자의 농도

 

이 공식을 통해 나온 값은 매우 복잡하게 나오게 될 것이다.

그렇기에 수학자들이 미리 구해둔 아래의 표를 통해 찾아내야 한다.

 

페르미 에너지의 함수로서 페르미-디락 적분 F1/2

 

도핑 농도가 높은 반도체의 경우 $n_{0} , p_{0}$ 볼츠만 근사가 불가능 하니 계산을 반드시 조심히 하자!!