4.5 전하중성

이번 장에서는 도핑 농도와 온도에 따른 캐리어 농도의 변화에 관해 알아보자.

 

전하 중성 조건 (charge neutrality) : 열평형 상태의 반도체는 전기적으로 중성을 갖는다.

만약, 열평형상태의 반도체가 전기적으로 양전하 혹은 음전하를 지니게 되면 배터리같이 에너지를 발산하거나 에너지를 생성하는 물질이 된다.

 

다시 전자 중성 조건으로 돌아와 밑의 식을 보면,

 

 

음전하와 양전하의 농도가 같다는 가정을 통해 이 같은 모든 농도의 합과 차가 0이라는 식이 나온다.

여기에 앞의 장에서 배운 mass - action law 를 통해 나온 $p_{0} = \frac{n_{i}^{2}}{n_{0}}$ 혹은 $n_{0} = \frac{n_{i}^{2}}{p_{0}}$ 을 식에 대입한다.

 

도핑 농도에 따른 전자와 정공의 농도 공식

 

이때 식의 값이 이차방정식으로 나오게 되는데, 식을 $n_{0}, p_{0}$로 정리하면 위와 같은 최종 식이 나온다.

 

이전에는 농도를 구하기 위해서 페르미 레벨과 에너지를 파악하여야 했다.

하지만, 이번에 알게된 수식을 통해 도핑의 농도만 알고 있으면 전자&정공의 농도를 어려움 없이 구할 수 있다.

 

그렇다면 $N_{a} , N_{d}$ 의 도핑 농도가 0이라면 어떻게 될까?

이에 해당하는 값인 0을 각각 대입해보면 결과적으로 앞장에서 배운 $n_{0} = p_{0} = n_{i}$ 라는 진성반도체의 농도 공식이 나오는 것을 알 수 있다.

 

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보상 반도체 (compensated Semiconductor)

 

보상 반도체는 도너와 억셉터가 함께 도핑한 반도체로,

- $N_{d} > N_{a}$ 이면 n형 반도체가 형성.

- $N_{d} < N_{a}$ 이면 p형 반도체가 형성.

- $N_{d} = N_{a}$ 이면 진성 반도체가 형성.

 

i) $N_{d} - N_{a} >> n_{i}$

(대부분의 $n_{i}$값은 최대가 $10^{10}$을 가진다.)

이 경우 $n_{i}$ 값은 식 계산에서 무시 가능한 작은 값이 되어 $n_{0} = N_{d} - N_{a}$로 나온다.

$p_{0}$는 자연스럽게 mass - action law 를 통해 $\frac{n_{i}^{2}}{n_{0}}$ 값을 지닌다.

 

여기서 $N_{d} >> N_{a}$ 값인 n형 반도체라면 $N_{a}$는 식에서 무시가 가능하기에

$n_{0} = N_{d}$ 가 다수 캐리어,

$p_{0} = \frac{n_{i}^{2}}{N_{d}}$가 소수 캐리어가 된다.

 

ii) $N_{a} - N_{d} >> n_{i}$

$n_{i}$ 값은 식 계산에서 무시 가능한 작은 값이 되어 $p_{0} = N_{a} - N_{d}$로 나온다.

$n_{0}$는 자연스럽게 mass - action law 를 통해 $\frac{n_{i}^{2}}{p_{0}}$ 값을 지닌다.

 

여기서 $N_{a} >> N_{d}$ 값인 p형 반도체라면 $N_{d}$는 식에서 무시가 가능하기에

$p_{0} = N_{a}$ 가 다수 캐리어,

$n_{0} = \frac{n_{i}^{2}}{N_{a}}$가 소수 캐리어가 된다.

 

자. 그럼 이제 우리가 배운 수식을 Si 와 Ge 물질을 통해 확인해 보도록 하자.

 

 

Si 의 경우 $N_{d} = 10^{15} ~ 10^{20} [cm^{-3}]$ 값을 지니고,

$n_{i} = 10^{10}$ 을 갖기에 두 값은 $N_{d} >> n_{i}$ 조건을 만족한다.

그렇기에 Si는 지금 배운 수식이 아닌 앞장의 mass - action law 를 통해서 값을 구할 수 있다.

if) $N_{d} = 10^{17} [cm^{-3}]$ 라고 가정.

- $n_{0} \approx N_{d} = 10^{17} [cm^{-3}]$

- $p_{0} \approx \frac{n_{i}^{2}}{n_{0}} = 2.25 \times 10^{3} [cm^{-3}]$

이처럼 큰 오차가 발생하지 않는것을 볼 수 있다.

 

하지만, Ge의 경우

$n_{i} = 2.4^{13} [cm{-3}]$, $N_{d} = 5 \times 10^{13} [cm^{-3}]$

값을 갖는다고 가정하면,  $n_{i}$ 와 $N_{d}$ 값의 농도가 거의 비슷하기에 Si와 같이 풀어내면 실제 값과 큰 오차가 발생한다.

따라서 Ge는 이번장에서 배운 수식을 사용하여야 오차를 줄일 수 있다.

if) $N_{d} = 5^{13} [cm^{-3}]$ 라고 가정.

 (Si 처럼 풀기)

- $n_{0} \approx N_{d} = 5 \times 10^{13} [cm^{-3}]$

- $p_{0} \approx \frac{n_{i}^{2}}{n_{0}} = 1.15 \times 10^{13} [cm^{-3}]$

으로 실제 값과 오차가 나오게 된다.

(이번장에서 배운 수식으로 풀기)

- $n_{0} = \frac{N_{d}-N{a}}{2}+[(\frac{N_{d}-N_{a}}{2})^{2}+n_{i}^{2}]^{1/2} = 5.97 \times 10^{13} [cm^{-3}]$

- $p_{0}\approx \frac{n_{i}^{2}}{n_{0}} = 9.65 \times 10^{12} [cm^{-3}]$

 

 

캐리어 농도와 온도의 상관관계

 

부분이온화, 외인성 및 진성 등 세 영역을 보여주는 온도에 대한 전자농도

 

 

I) 온도가 낮을 때 (n = 0)

- 에너지 부족으로 도펀트가 활성화하지 못하여 전자 농도를 갖지 못한 상태.

 

II) 낮은 온도 $(n = N_{d}^{+})$

- 열에너지를 받기 시작하며 가전자대와 도너 내의 전자를 전도대로 보낸다. (= 캐리어 농도 증가)

 

III) 중간 온도 $(n = N_{d})$

- 특정 온도에 다다르면 도너는 전부 이온화하고, 가전자대는 확률적으로 전도대로의 생성 & 재결합을 반복한다.

이때, $N_{d}$(도너 농도) >> $n_{i}$(전도대로 이동한 가전자대의 전자 수) 이기에

전체 캐리어 농도(n) 은 $N_{d}$(도너 농도)가 된다.

 

IV) 높은 온도 $(n = n_{i})$

- 온도가 계속 오르다 특정 시점이 되었을 때 $n_{i} >> N_{d}$ 인 구간이 발생한다.

 

이때의 전체 캐리어 농도 $n = n_{i} + N_{d}$에서 $N_{d}$값을 무시한 $n = n_{i}$가 된다.

 

이는 이번장에서 알게 된 수식을 통해서도 적용이 가능한데, $n_{i} >> N_{d}$를 

 

도핑 농도에 따른 전자와 정공의 농도 공식

 

에 적용한다면, $n_{0} = n_{i}$ 가 된다는 것을 알 수 있다.