4.6 페르미 에너지 준위의 위치

캐리어 농도와 페르미 레벨의 위치 사이의 상관관계

 

페르미 레벨의 위치는 도너 혹은 억셉터의 농도만 알아도 파악이 가능하다. (볼츠만 근사 기반으로 가능함)

- $N_{d} >> n_{i}$ 일 때는 $E_{c} - E_{F} = kTln(\frac{N_{c}}{N_{d}})$ , $E_{F} - E_{i} = kTln(\frac{N_{d}}{n_{i}})$

- $N_{a} >> n_{i}$ 일 때는 $E_{F} - E_{v} = kTln(\frac{N_{v}}{N_{a}})$ , $E_{F} - E_{i} = kTln(\frac{N_{a}}{n_{i}})$ 

 

이 식을 그림으로 표현하면 아래와 같다.

 

n형과 p형 반도체의 페르미 에너지 준위

 

 

* 도핑 농도에 대한 $E_{F}$ 변화

 

페르미 에너지 준위를 도핑 농도의 함수로 나타내면

도너농도와 억셉터 농도의 함수로서 페르미 에너지 준위

 

농도가 높을수록 페르미 준위가 변화하는 것을 볼 수 있다.

$N_{d}$ 의 경우 $E_{F}$가 $E_{c}$에 가까워지는 n-type을 갖고,

$N_{a}$ 의 경우 $E_{F}$가 $E_{v}$에 가까워 지는 p-type을 갖는다.

 

320x100

 

* 온도에 대한 $E_{F}$ 변화

 

앞장에서 나왔듯이 저온에서는 동결상태, 중온에서는 $N_{d} >> n_{i}$이기에 전자의 농도 = 도너의 농도이다. 고온으로 갈수록 $n_{i}$가 증가하며 $E_{F}$가 진성 페르미 준위에 가까워진다.

 

저온 = 동결 , 중온 = 도너 중심 반도체, 고온 = 진성 반도체

 

 

다양한 도핑농도에 대해서 온도함수로서 페르미 준위의 위치를 나타냄.

 

위의 그림을 보면 저온에서 n-type의 경우 $E_{F}$가  $E_{d}$의 위에 위치하여 있고, p-type의 경우 $E_{a}$의 아래에 위치하여 있다. 절대온도 0K 에서 $E_{F}$가 아래 모든 에너지 상태들은 가득 차고 $E_{F}$ 위 모든 에너지 상태들은 비어있다.

온도가 상승함에 따라 전도대(Conduction band)와 가전자대(Valence band) 모두 $E_{Fi}$에 가까워 지는 형태를 띠고 있다. 그렇기에 도핑의 농도가 높다면 $E_{Fi}$까지 내려오는 속도가 늦겠지만, 온도가 높아지면 결국 $E_{Fi}$에 가까워짐을 그림을 통해 볼 수 있다.

 

 

4. 6. 3 페르미 에너지의 관련성

 

열적 평형 상태 (Thermal equilibrium state) <외부에서 어떠한 자극도 가해지지 않은 상태. 즉, 전압, 빛, 휘어짐 등등이 없다.>

 

- 전자 & 정공 농도 = $n_{0} & p_{0}$로 일정함

- mass - action law로 $n_{0}p_{0} = n_{i}^{2}$이 된다.

- 전자 & 정공에 의해 발생하는 전류 = 0이다. $J_{n} = J_{p} = 0$

 

다음 사진은, 서로 다른 $E_{F}$를 가진 물질을 근접시켰을 때의 현상을 나타낸 것이다.

 

(a)의 $E_{F}$ 지점과 (b)의 $E_{F}$지점의 준위 차이가 존재할 때 서로 근접시키면 A물질에 있던 전자가 B물질의 빈 방에 채워가며 $E_{FA} = E_{FB}$인 새로운 $E_{F}$를 형성하게 된다.

따라서 열적 평형상태에 놓인 반도체 물질에서 페르미 레벨은 항상 수평하게 존재한다.

 

예를 들어, 도핑 농도가 다른 에너지 밴드를 하나 살펴보자.

서로 다른 도핑 농도의 페르미 에너지 준위

 

위에 도핑되어 있는 에너지 밴드를 하나의 그림으로 표현하기 위해서는

우선, 반도체가 열적 평형상태라면 $E_{F}$는 수평하게 그린다. 이후 나머지 $E_{c}$와 $E_{v}$ 그리고 $E_{F}$ 가이의 정보를 그리면 아래와 같은 오른쪽으로 갈수록 $E_{c}$와 $E_{F}$ 사이의 간격이 커지는 그림을 그리게 된다.

 

에너지 밴딩