4.1 반도체의 전하 캐리어 (2)

4.1.3 진성 캐리어 농도

 

진성 반도체 란 순수한 반도체로 불순물이 섞이지 않았음을 나타낸다.

만약 진성 반도체라고 가정하였을 때 열에너지가 가해지면 각각 한쌍의 전자와 정공이 생성된다.

해당 전자 & 정공 의 농도는 $n_{i}$(intrinsic carrier concentration) = $n_{0}$ = $p_{0}$ 로 서로 같은 농도를 지닌다.

또한, $E_{F}$ (페르미 에너지) 는 $E_{i}$ 혹은 $E_{Fi}$ 로 표기하고 해당 페르미 에너지 준위를 '진성 페르미 에너지' 라고 부른다.

 

$n_{i}$ 와 $p_{0}$ , $n_{0}$ 의 공식

 

이때 $n_{i}$의 값을 구하기 위해 $n_{0}$ 와 $p_{0}$ 을 곱하면 아래의 공식을 얻게 된다.

이 공식에서 $exp[\frac{E_{Fi}}{kT}]$ 는 소거되면서 $E_{c} - E_{v}$ 가 나오는데, 이는 $E_{g}$ (에너지 밴드갭)과 같아 $E_{g}$를 공식에 적었다.

 

진성 캐리어 농도

${n_{i}}^{2}$ 을 루트를 이용해 나누어 $n_{i}$ 값으로 나타내면, 위와 같은 최종 공식이 나오게 된다.

다음 공식에서 T를 제외한 모든 값들이 상수이기에 유일한 변숫값인 T 값이 상승하면 $n_{i}$ 값 또한 상승한다.

 

이어서 온도에 따른 농도의 변화를 보겠다.

320x100

 

온도에 대한 Ge, Si, GaAs의 진성캐리어농도

먼저 그림을 보면, x축은 $\frac{1}{T}$ 로 주어져있다는 것이 확인 가능하고,

파란 수직선을 기준으로 -x축 방향으로 이동하면 온도가 증가하여 $n_{i}$ 값도 증가한다는 것을 볼 수 있다.

그렇다면 이러한 그래프가 어떻게 나온 걸까 공식을 통해 확인을 알아보자.

 

진성 캐리어 농도$n_{i}$

 

위의 과정을 통해 나온 진성 캐리어 농도의 공식이다.

 

해당 값에 log를 취해주면,

다음과 같이 식이 정리가 된다.

이때 $\frac{1}{2}log(N_{c}N_{v})$ 는 결과 값에 큰 영향을 주지 못하지만, $\frac{E_{g}}{2k}(log{e})\frac{1}{T}$ 는 결과 값에 큰 영향을 주게 된다.

따라서, $log(n_{i}) \propto \frac{1}{T}$ 로 비례하는 값을 갖는다.

 

최종적으로 위의 그래프를 보면 $E_{g}$ 가 작은 값을 가질수록 농도가 커지는 걸 볼 수 있다.

 

 

4.1.4 진성 페르미 준위 위치

 

진성반도체에서 페르미 에너지 준위는 금지대 밴드갭의 중앙 근처에 위치한다.

이번에는 여기서 '근처'의 위치를 정확하게 계산하는 방법을 알아보도록 하자.

우선, 진성 반도체에서는 $n_{i}$ = $n_{0}$ = $p_{0}$ 이기에

다음과 같은 공식이 나오게 된다.

이 공식의 양변에 ln값을 취하여 $E_{i}$ 에 대한 식으로 정리를 하자.

 

 

앞의 식인 $\frac{1}{2}(E_{c}+E_{v})$ 는 $E_{c}$ 와 $E_{v}$의 중간지점인 $E_{g}$ 값을 갖게 된다.

뒤의 식인 $\frac{1}{2}kTln(\frac{N_{v}}{N_{c}})$ 은 $\Delta E_{i}$ 값으로 이는 중간 위치에서 벗어난 값을 갖게 된다.

($\Delta E_{i}$ 이는 매우 작은 값을 갖기에 거의 $E_{g}$에 위치해 있다고 봐도 무방한 정도.)

 

$\Delta E_{i}$ 의 공식

 

※ $\frac{N_{v}}{N_{c}}$ 는 유효질량(전자 & 정공)의 차이이다.

 

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이전부터 지금까지의 모든 과정을 거쳐서 나온 전자와 정공의 농도 공식이다.

 

이제는 주어진 에너지 준위 값이 무엇인가에 따라 공식을 유동적으로 사용 가능하다.

$E_{c} - E_{F}$ or $E_{F} - E_{i}$ 등등..

물론, 값의 결과는 동일하게 나온다.