5.3 경사 불순물 분포

5.3.1 유도 전계

 

 

열평형 상태(thermal equilibrium state) 의 불균일하게 도핑된 n-type Si 반도체

 

위의 사진은 불균일한 도핑 농도를 지닌 반도체를 가정한 그래프이다.

축의 시작 부분은 도핑 농도가 높아 전자가 많지만, +x로 진행함에 따라 전자가 줄어드게 될 것이다.

앞장에서 우리가 배운 확산 전류밀도(diffusion)를 통해 전류는 전자의 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르게 됨을 이해하였다. 따라서 이 그래프의 전류 이동 방향은 높은 곳에서 낮은 곳인 +x 진행 방향이다.

이제 drift 전류를 구하기 위해 에너지 밴드를 그리자면,

 

불균일한 Si 반도체의 에너지 밴드

 

$E_{c}$와 $E_{F}$가 +x축으로 진행 할 수록 사이 거리를 멀게 그려준다. 이때 $E_{f}$의 경우 열평형 상태에 놓여있어 페르미 레벨을 항상 수평하게 그려주어야 한다. 그리고 $E_{g}$ 또한 항상 일정한 값을 갖기 때문에 $E_{v}$가 $E_{c}$의 상승에 따라 동일한 기울기 값으로 상승한다.

 

이처럼 에너지 밴드가 휘어진 상태로 그려지는데, 이는 기울기가 다음 $E = -\frac{dV}{dx} = \frac{1}{q}\frac {dE_{c}(x)}{dx}$로 결정된다. 기울기($\frac {dE_{c}(x)}{dx}$)가 현재 양의 값을 갖는다.

 

전계(반도체 내부)

 

따라서 위 반도체의 전계 진행 방향은 +x 임을 알 수 있고, 전류의 이동방향은 이의 반대인 -x이다.

즉, 도핑농도가 균일하지 않게 열평형 상태에 놓여있다면, 외부에서 전압을 인가하지 않아도 내부에 E-field가 형성됨을 수식적으로 확인하였다.

 

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이 반도체에는 E-field로 인해 drift 전류와 diffusion 전류 모두 발생하게 된다. 그렇다면 반도체 내부에서 전류가 생기는 걸까? 

대답은 No 다.

 

열평형상태에 놓인 전류밀도 = 0. 의 값을 유지한다. 이미 진행 방향을 통해 어느 정도 감을 잡았겠지만, 전류밀도 공식인$J_{total} = 0 = J_{drift} + J_{diff}$에서 내부 전계(built-in E-field)로 형성된 drift(-x)와 diff(+x) 두 힘이 서로 균형을 이루어(상쇄) 전자가 움직이지 않는다.

정공&전자의 전류밀도(drift + diffusion)

 

위의 공식은 정공과 전자의 전류밀도 공식으로, $E_{bi}$는 반도체 내부전계(built-in E-filed)를 뜻한다.

drift와 diffusion의 합이 0 으로 나오는 수식을 $E_{bi}$에 대하여 식을 정리하면,

이처럼 정리가 된다.

 

 

5.3.2 아인슈타인 관계

 

위의 상황들 처럼 열평형 상태에 있는 불균일 도핑이 된 반도체를 생각하면 전자와 정공 전류는 0이 되어야 한다. $J_{n}=qn\mu _{n}E+qD_{n}\frac{dn}{dx}=0$ 이 식에서 $\frac{dn}{dx}=0$는

이때, $E = -\frac{dV}{dx} = \frac{1}{q}\frac {dE_{c}(x)}{dx}$의 공식을 적용해 주면 위와 같이 정리가 되고, 이를 기존 식에 대입하면 최종적으로 열평형 상태일 때의 이동도와 확산 계수의 비를 이용한 공식이 나오게 된다.

 

아인슈타인 관계(T=300K) 약0.026[V]

 

이 공식은 T=300K 인 열 평형 상태에서의 이동도 혹은 확산계수 둘 중 하나만 알아도 다른 하나의 값을 찾을 수 있게 된다.