6.4 유사-페르미(Quasi-Fermi) 에너지 준위

 

Low level injection

- 액세스 캐리어가 발생하여 nonequilibirum states 가 되지만 이때 낮은 수치만 주입하기에 다수 캐리어의 농도 변화에 큰 영향을 주지 못한다.

n-type 물질

p-type 물질

각 타입의 농도를 구할 때에는 다음 사진처럼 다수 캐리어의 농도에 액세스 캐리어의 농도는 영향력이 거의 없다는 것을 볼 수 있다.

이렇듯 다수 캐리어에는 큰 변화가 없었지만, 반대로 소수 캐리어에는 큰 변화가 일어나게 된다.

 

 

이는 간단한 예시를 통해 알아보도록 하자.

 

a) $p_{0}$ -> $p_{0} = N_{a} = 10^{15}[cm^{-3}]$

b) $n_{0}$ -> $n_{0} = n_{i}^{2}/p_{0} = 10^{5}[cm^{-3}]$

c) $\delta p$

-> in steady-state. g' = r' (생성률과 재결합률은 동일) => $\delta p/\tau$

$10^{20}[cm^{-3}s^{-1}] = \delta p/\tau $ ==> $\delta p = 10^{20}[cm^{-3}s^{-1}] * 10^{-6}[s] = 10^{14}[cm^{-3}]$

 

d) $\delta n$ (빛을 쪼여주는 상태이기에 전자와 정공은 쌍으로 생성이 된다.)

-> $\delta n = \delta p = 10^{14}[cm^{-3}]$

 

e) p -> p = $p_{0} + \delta p = 10^{15}[cm^{-3}] + 10^{14}[cm^{-3}] = 1.1 \times 10^{15}[cm^{-3}]$

이때의 p는 다수 캐리어로 다음과 같이 엑세스 캐리어 농도가 합해져도 농도에 큰 변화가 없음을 수식을 통해 확인할 수 있다.

 

f) n -> n = $n_{0} + \delta n = 10^{5}[cm^{-3}] + 10^{14}[cm^{-3}] ~ 10^{14}[cm^{-3}]$

하지만 이처럼 소수 캐리어인 전자는 액세스 캐리어 농도가 열평형 상태인 농도값에 비해 상대적으로 높아 최종 농도의 변동이 매우 크다는 것을 수식을 통해 이해하였다.

 

g) np -> np = $1.1 \times 10^{15}[cm^{-3}] * 10^{14}[cm^{-3}] = 1.1 \times 10^{29}[cm^{-6}] >> n_{i}^{2} = 10^{20}[cm^{-6}]$

기존 진성 캐리어 농도와 np의 값에 엑세스 캐리어가 발생하는 nonequilibrium 상태에서는 큰 차이가 생기게 되어 $np \neq n_{i}^{2}$ 이 된다.

 

 

 

Quasi-Fermi level

 

열평형 상태의 전자와 정공 농도

 

nonequilibrium state에 들어간 반도체의 페르미 레벨 그리는 방법은 Quasi-equilibrium state일 경우 excess 캐리어가 발생하지만 매우 작은 양이기에 equilibrium state 가 정말 붕괴된 것이 아닌 유사한 상태에 있다는 가정으로 전자와 정공의 농도를 구한다.

 

nonequilibrium 상태의 전자와 정공 농도

 

$E_{Fn}$ = 전자에 대한 quasi-Fermi level, $E_{Fp}$ = 정공에 대한 quasi-Fermi level.

이 두 페르미 레벨을 따로 정의하여 농도를 구한다.

 

이 또한 간단한 예시를 통해 알아보도록 하자.

 

Consider a Si sample with $N_{d} = 10^{17}[cm^{-3}]$ and $\delta n = \delta p = 10^{15}[cm^{-3}]$.

 

a) n -> $n_{0} + \delta n = N_{d} + \delta n = 1.01 \times 10^{17}[cm^{-3}]$

b) p -> $p_{0} + \delta p = n_{i}^{2}/N_{d} + \delta p ~ 10^{15}[cm^{-3}]$

c) np ~ $10^{17} \times 10^{15} = 10^{32}[cm^{-6}] >> n_{i}^{2}$

d) $E_{Fn}$ -> $E_{c} - E_{Fn} = kT \times ln(N_{c} / 1.01 \times 10^{17}cm^{-3}) = 0.15 eV$

e) $E_{Fp}$ -> $E_{Fp} - E_{v} = kT \times ln(N_{v} / 10^{15}cm^{-3} = 0.24 eV$

 

==> 이렇게 유사 페르미 준위는 두 가지의 페르미 레벨이 동시에 나온다. 반대로 생각하면 반도체의 에너지 밴드 다이어 그램에 페르미 레벨이 두 개라면 nonequilibirum state인 전자와 홀의 유사 페르미 준위라는 뜻으로 생각할 수 있다.