6.2 과잉 캐리어의 특성

- Flux

단위면적에 단위 시간 동안 지나가는 입자의 개수로 얼마나 많은 입자가 단위면적을 지나가는가에 대한 것이다.

 

전류밀도(current density)는 J = QNv이다. 이때 Q를 제외한 단위를 보면 $$[#/cm^{2} sec]$로 flux에 대한 단위와 동일하게 나온다. 따라서 flux = J/Q라는 수식을 통해 flux에 대한 값을 current density로부터 얻을 수 있다.

 

 

연속 방정식 (Continuity equation)

 

정공 입자 흐름의 x성분을 보이는 미분체적

 

$\frac{dp}{dt}$ 는 시간에 따른 캐리어 농도의 변화이고, $\frac{F(x+dx) - F(x)}{dx}$는 x방향에 대한 flux를 미분한 식으로 미적분학 시간을 통해 많이 봐온 수식일 것이다.

만약 여기서 dx가 0에 근사한 값을 갖는다면 flux를 미분한 값을 갖게 되어 아래와 같이 식이 전개될 것이다.

 

위에서 나온 flux = J/Q 를 대입한다.

이때의 반도체는 p-type 이기에 $\frac{dF}{dx} = \frac{1}{q} \frac{dJ_{p}}{dx}$ 으로 전개되며, 양 변을 dxdydz로 나누어 $\frac{dp}{dt} = -\frac{dF}{dx}$ 로 나타낼 수 있다.

 

 

이때 $g_{p} , r_{p}$는 외부에서 캐리어가 들어가고 나가는 것은 아니지만 단위 부피체 내에서 generation에 의해 생성되는 캐리어와 recombination에 의해 사라지는 캐리어를 고려한 값이다.

 

 

최종적으로 나온 수식은 다음과 같다. 이전 장을 통해 $g_{p}'$은 상수 값을 지니는 것이 대부분이고, $r_{p}'$은 옆에 나온 수식을 통해 구해야 함을 이해하였다. 그러므로 이 수식을 통해 시간과 위치에 따른 캐리어 농도의 분포 변화를 알 수 있으며 이로서 반도체 내에서의 전류 흐름 또한 계산이 가능해졌다.

 

하지만 이때 위치와 시간에 대한 미분이 섞여있기에 식을 계산하는 데 있어서 어려움이 따르게 된다. 따라서 이후에 소개할 몇 가지 식을 통해 단순화하는 과정이 필요하다.

 

 

 

여기서 농도 함수를 보면 이는 위치에 따라 도핑 농도가 변하는 함수임을 알 수 있다.

따라서 수식을 단순화하기 위해 모든 위치마다 도핑 농도가 균일한 중성 영역을 설정하여 수식을 전개하면 

 

다음과 같은 함수가 아닌 상수로서 표기가 된다.

이 수식을 전류밀도 공식에 대입

 

이때 위치에 대한 농도의 미분이 존재하는데, $p_{0} , n_{0}$는 상수값이므로 소거가 된다.

위에서 구하였던 최종적 공식에 중성영역을 통해 정리된 전류밀도 공식을 대입

 

 

최종적으로 이와 같은 수식이 만들어지게 된다.

정리된 수식 이전에는 총 캐리어 농도를 구하는 것이었으나, 정리가 된 수식을 보면 excess 캐리어 농도만 구한다. 이는 위에서 $p_{0} , n_{0}$를 상수 취급하였기에 발생하는 일이다.

 

이렇게 유도된 연속 방정식을 풀 수 있다면 캐리어 농도의 시간&공간에 대한 분포를 전부 얻어낼 수 있기에 최종적인 전류 값을 구할 수 있게 된다.