9.1.2 이상적 접합 특성

MS junction에서 P-type, N-type에 따라, workfuction을 metal과 semicunductor 중 누가 더 높은지에 따라 두 가지 특성으로 나타낼 수 있었다. 그중 Ohminc의 경우 전류가 완만하게 잘 흐르기에 별도로 수식 전개의 필요가 없으므로 Rectifying (Blocking) 특성일 때의 수식을 전개해보도록 하겠다.

 

다음 사진은 zero bias 상태인 ms junction이다.

이때의 수식 해석은 pn junction과 큰 차이를 보이지 않는다.

 

먼저 해당 사진에서의 depletion region의 범위는 $0$ ~ $x_{n}$이고 이를 W라고 칭하겠다.

또한, pn junction에서와 마찬가지로 depletion region의 경계면은 무로 자른 듯 딱 떨어지는 경계면을 지님을 가정하고 수식을 전개한다.

Charge density

가장 먼저 Charge density 값을 도핑한 도너 & 억셉터의 fixed charge와 비례해서 계산해 준다

이렇게 나온 Charge density를 그래프로 그려보면, 반도체 쪽에 $qN_{D}$ 만큼 생성이 된다.

pn junction 과는 다르게 반대 편에는 금속이므로 Charge density가 동일한 양만큼 생성되지 않는다.

 

Charge density

 

위의 값으로 나온 Charge density를 $\frac {dE}{dx} = \frac {\rho}{\varepsilon _{s}}$ 수식을 이용하여 E-field를 구하므로 $\frac {\rho}{\varepsilon _{s}}$에 적분을 해준다.

적분을 통해 $E(x) = \frac {qN_{D}}{\varepsilon _{s}}x + C_{1}$ 로 나오게 된다.

이때 $C_{1}$이라는 적분 상수 값은 경계조건을 대입하여 구해준다. ($E(x=W) = 0$)

최종적으로 $\frac {qN_{D}}{\varepsilon _{s}}(x-W)$라는 E-field 식이 나온다.

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이를 그래프로서 표현하면 아래와 같다.

E-field

다음 사진에서 보이듯 가장 강한 E 세기는 MS junction 경계면에서 나타나고, depletion region 이외의 영역에서는 E = 0 값을 보인다.

 

마지막으로 E 값에 -적분을 하면 potential 값. 즉, V 값을 찾을 수 있다.

$V(x) = -\frac {qN_{D}}{2\varepsilon _{s}}(x-W)^{2} + C_{1}$

potential

이때의 적분 상수 값은 위의 사진에서 나온 $(x = W, V = 0)$ , $(x = 0 , V = -V_{bi})$ 를 대입해준다.

$V(x) = -\frac {qN_{D}}{2\varepsilon _{s}}(x-W)^{2}$

$W = \sqrt {\frac {2\varepsilon _{s} V_{bi}}{qN_{D}}}$라는 최종 식이 나온다.

이를 통해 W는 $N_{D}$값이 증가함에 따라 감소함을 확인할 수 있고, 이는 앞에서 배운 one side junction과 수식이 동일함도 확인 가능하다.

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pn junction에 reverse bias를 인가하면 depletion capacitance 성분이 발생함을 이야기했었다.

마찬가지로 ms junction에서도 depletion region으로 인해 전류가 잘 흐르지 못하고 E 만 전달되는 depletion capacitance와 동일한 형태가 된다.

 

pn junction에서 $C_{dep}$ 을 구하는 수식은 $C_{dep} = \frac {dQ_{dep}}{dV_{R}} = \frac {dQ_{dep}}{dx_{n}} \frac {dx_{n}}{dW} \frac {dW}{dV_{R}}$이다.

하지만 ms junction에서는 $x_{n} = W$ 이므로 $\frac {dx_{n}}{dW}$이 사라지고 $x_{n} = W$으로 변하며,

$\frac {dQ_{dep}}{dV_{R}} = \frac {dQ_{dep}}{dW} \frac {dW}{dV_{R}}$ 로 된다.

 

이때 필요한 정보들은 앞선 내용에서 찾았었다.

이를 수식에 대입하면,

다음과 같은 식이 나오고, 이는 pn junction 때와 동일한 결과를 보여준다.

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커패시턴스를 역수에 제곱을 취해준 값을 그래프로 표현을 하면 아래와 같다.

이는 $V_{R}$에 대한 수식이기에 직선 그래프로 나타나게 된다.

 

 

이때의 기울기는 수식에서의 앞의 계수와 동일하고, $q, \varepsilon _{s}$는 상수 값이므로 기울기 값을 통해 $N_{D}$. 즉 도핑 농도 값을 구할 수 있다.

이렇게 도핑 농도 값을 확인한다면 아래의 수식인 Shottky barrier height 값도 찾을 수 있다.

 

 

따라서 $C_{dep}$를 구하여 얻을 수 있는 정보들은 $N_{D}, V_{bi}, \phi _{B0}$가 있다.