3.5 통계역학(1)

 

앞전에 작성한 글의 연장선이다.

f(E) -> 확률 분포 함수에 대한 내용.

 

에너지 상태에서 입자들의 분포를 결정하는 분포 법칙

1. 맥스웰 볼츠만(Maxwell-Boltzmann) 확률함수

-> 입자들에 각각의 번호를 매겨 구분가능하며 각 에너지 상태에 허용되는 입자수에 제한이 없다.

예) 낮은 압력 상태의 용기 속에 든 가스 분자들의 거동.

 

2. 보스-아인슈타인(Bose-Einstein) 함수

-> 입자들을 각각 구분 할 수 없고 각 양자 상태에 허용되는 입자 수에는 제한이 없다.

예) 광자, 혹은 흑체복사의 거동.

 

3. 페르미-디락(Fermi-Dirac) 확률함수

-> 입자들은 구분 불가능 하지만 각 양자 상태에 오직 하나의 입자만이 허용된다.

 

이 세가지 법칙 중 우리가 사용할 분포 법칙은 3번째 함수인, 페르미-디락의 확률 함수이다.

 

 

페르미-디락(Fermi-Dirac) 확률함수

 

i) T = 0 K일 경우

T = 0K 에서 어느 특정 시스템의 분리된 에너지 준위와 양자 상태

이때, 하나의 양자상태가 채워질 확률은 (E < Ef => 1)이라는 결과값이 (E > Ef = 0) 이 나오게 된다.

모든 전자들은 T = 0K 에서 페르미 에너지 이하의 에너지를 갖는다.

이는 페르미 준위보다 낮은 위치에는 전자가 존재한다는 뜻이다.

 

위의 사진을 보면, 전자들은 가능한 가장 낮은 에너지 상태인 E1~E4에 존재하고 페르미 준위는 E4 < Ef < E5 에 위치한다는 것을 미루어 볼 때, 페르미 에너지는 전자의 통계적 확률 분포를 결정하며, 허용된 에너지 준위와 일치할 필요는 없다 는 것을 알 수 있다.

 

ii) T > 0 K 일 경우

T > 0K 에 대한 에너지 준위와 양자상태

전자들이 어느정도의 열 에너지를 얻게 되어 일부 전자들을 더 높은 에너지 준위로 상승하게 된다. 

위의 그림을 예시로 보았을 때 E4의 두 전자가 E5로 이동, E3의 전자는 E4로 이동 하는것을 통해 온도가 상승함에 따라 에너지에 대한 전자의 분포가 변화함을 볼 수 있다.

 

페르미-디락 분포 or 확률함수

k = 볼츠만 상수

320x100

 

여러 온도에 대한 페르미 확률 함수 대 에너지

 

온도가 일정하다면 f(E)의 값은 에너지 & 페르미 레벨 위치에 따라 변할 수 있고, 온도가 변화 한다면 높아질 수록 함수값이 점차 퍼지게 된다. 따라서 전자들이 열에너지의 증가와 함께 더 높은 에너지 준위로 이동하게 된다.

 

가전자대 와 전도대의 에너지 상태

페르미-디락 분포 or 확률함수

 

에너지가 0에 가까울 수록 전자가 존재할 확률이 1이 되고, 에너지가 매우 높을 수록 전자의 존재 확률이 0에 가까워지는 공식에 의해 위와 같은 그래프가 나오게 된다.

-0에 가까운 에너지 상태인 가전자대(valance band) 에서는 대부분의 전자들이 채워져있다.

-Ef(페리미 에너지)에 가까워 질 수록 전자의 존재 확률이 1/2 에 근접하게 점차 감소한다.

-Eg 구간에는 에너지 존재가 불가하여 전자가 없다.

-전도대(conduction band)에 들어서면서부터는 에너지 상태가 커지면서 전자가 거의 존재 불가한 상태가 된다.

<쉬운 이해를 위해 점점 증가하는 형태로 전자가 존재하는게 아닌 에너지 레벨과 무관하게 방이 존재한다고 그렸다.>

 

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ps. 학교 교수님 강의를 바탕으로 블로그 글을 작성할 예정이다!