에너지 상태 밀도 함수 (DOS = Density of State) : 얼마만큼의 양자적 상태가 존재하는 가의 밀도를 나타낸다.
확률분포 함수(f(E)) = 존재하는 에너지 상태가 전자로 채워질 확률의 값.
다음 Ec 위치에 전자가 채워질 수 있는 에너지 상태를 '방'으로 가정하였을 때
전자의 농도를 파악하기 위해서는 방의 개수를 알아야 한다. (=> 에너지 상태 밀도 함수의 내용)
전자가 존재하는 '방'이 있고, 전자가 존재하지 않는 '방'도 존재한다.
이렇듯 전자가 어떠한 방에는 채워지고 어떠한 방에는 채워지지 않는 확률을 확률분포 함수(f(E))라고 부를 수 있다.
다음 식은 캐리어의 농도를 나타낸 식으로, 에너지 레벨에 따라 값이 달라지기 때문에
측정하고자 하는 에너지 밴드의 범위에 대하여 (Ec ~ 끝 or 끝 ~ Ev) 전체 적분해준다.
g(E) = 허용된 에너지 상태의 밀도 (n=전자 , p=정공(홀))
f(E) = 전자를 채울 확률, ( 1 - f(E) ) = 전자가 비어있을 확률 = 정공의 확률
에너지 상태 밀도 함수
<3차원의 경우>
1. 3차원 무한 전위 우물을 가정하여 범위를 나타낸다.
2. 슈뢰딩거 방정식을 나열한다.
3. 파동 함수를 이용하여 변수 분리를 사용.
4. 2번 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 정리한다.
5. 다음 함수의 경우 닫힌 함수임으로, 아래의 해를 사용하는 것이 계산에 있어 편리하기에 함수의 해를 다음의 값으로 가정한다.
6. 5번과 동일한 과정을 거쳐서 ky, kz의 해도 구한다.
7. 식을 정리하면, 2번 식의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 나오게 된다.
이때, k^2의 값은 원점에서 어떤 한 점까지의 구하는 공식과 유사하다.
이를 이용해, k-space라는 가상의 공간(역공 간)을 만들어 사용.
여기서 nx, ny, nz에서 양과 음의 경우 부호만 다를 뿐 동일한 파동 함수를 지니고 있어 동일한 확률 함수와 에너지를 갖는다. 따라서, 음의 정수는 양의 정수와 동일한 양자상태를 의미한다.
파울리 배타 원리로 인하여 음&양 이 동시에 존재가 불가하다.
같은 원자 내에 존재하는 서로 다른 전자는 동일한 양자수를 가질 수 없다. - 파울리 배타 원리
8. kx 방향으로 두 에너지 상태의 거리는 kx 다음 상태의 값인 kx+1에서 현재 상태 kx의 값을 뺀 값이 결과로 나오게 된다.
9. k-space에서 1개의 에너지 상태 부피는 8번 식에서 나온 두 에너지 상태의 거리를 이용하여 구할 수 있다.
10. 구하고자 하였던, g(E) 값을 dN/dE를 구하기 위해서는 dk를 이용하여 각각의 미분 값을 구한 후 곱하여야 한다.
11. k-space에서 임의의 반지름 k 인 구 안에서 허용되는 에너지 상태의 수를 통해 dN/dk의 값을 찾을 수 있다.
이때,
2를 곱해준 이유 = 1개의 상태 안에는 스핀이 다른 전자 2개가 존재할 수 있기 때문.
1/8을 곱해준 이유 = 위 7번 식에서 이야기하였듯 파울리 배타 원리를 통해 음과 양이 동시에 존재 불가하다.
따라서 음의 값의 kx, ky, kz를 가지는 전자는 구분할 수 없기 때문이다.
12. dk/dE 값을 찾을 수 있다.
13. g(E) = dN/dk * dk/dE
따라서, g(E) 는 루트(E)의 값에 상수 비례한다는 최종 값을 얻게 된다.
만약, 전자와 정공의 유효 질량이 같다면, 함수 gc(E)와 gv(E)는 Eg(에너지 갭)을 사이에 도구 대칭을 이루게 될 것이다.
'공부 > 물리전자공학' 카테고리의 다른 글
| 4.2,3 도펀트 원자와 에너지 준위 (0) | 2021.11.05 |
|---|---|
| 4.1 반도체의 전하 캐리어 (2) (0) | 2021.11.04 |
| 4.1 반도체의 전하 캐리어(1) (0) | 2021.11.03 |
| 3.5 통계역학(2) (0) | 2021.10.30 |
| 3.5 통계역학(1) (0) | 2021.10.28 |