에너지를 받아 가 전자대에서 전도대로 이동하고 에너지를 잃고 전도대에서 가 전자대로 하강하는 과정이 반복적으로 계속되면서 일정한 가전 자대(valance band)와 전도대(conduction band)의 전자와 홀의 농도를 유지하는 상황이 반도체 내의 모습과 유사하다.
페르미 레벨(Ef)은 1/2 지점으로 봤을 경우
- E > Ef 이면, 전자가 존재할 확률이 1/2보다 낮은 상태가 된다.
- E < Ef 이면, 전자가 존재할 확률이 1/2 보다 높은 상태가 된다.
다음 상황들을 역으로 생각해 보았을 때 페르미 레벨은 전자의 농도를 추정할 수 있는 중요한 지표라는 것을 알 수 있다.
먼저 가장 왼쪽의 그림을 보자.
에너지와 페르미 에너지가 서로 같아 전자의 존재 확률을 1/2로 볼 수 있다. 페르미 레벨을 기준으로 위(전도대 방향)로는 전자의 존재 확률이 낮아지고, 아래(가전 자대 방향)로는 전자의 존재 확률이 높아지게 된다.
다음으로, 수면을 조금 높여 전도대의 위치와 전자의 존재 확률 1/2 지점인 페르미 레벨이 가까워지게 되면서 앞전의 상황에 비해 전도대에 더 많은 전자를 갖게 된다.
마지막으로, 수면이 낮아지면서 전도대와 페르미 레벨 사이가 멀어지면 Ec에 전자 존재 확률이 더욱 줄어들게 될 것임을 앞의 상황들을 통해 알게 된다.
정리를 해보자면 전도대에 페르미 레벨이 가까울수록 전자 존재 확률이 더욱 높아지고, 멀어질수록 전자 존재 확률이 줄어든다.
위의 두 식을 그래프를 통해 표현해보면
다음처럼 서로 Ef(페르미 레벨)을 기점으로 교차하는 그래프가 나타나게 된다.
Boltzmann approximation(볼츠만 근사)
다음 페르미 공식에서 만약 E - Ef의 값이 kT 보다 많이 크다면, 분모에 존재하는 1의 값을 무시해도 되기에 단순화가 가능하게 된다.
따라서, 다음과 같은 근사식을 갖게 된다.
이는 위의 조건이 충족할 경우에만 사용이 가능한 공식으로 페르미 함수와 비교하는 아래의 그래프를 확인해 보도록 하자.
페르미-디락 함수와 볼츠만 근사의 함수 식을 비교하였을 때, 에너지가 큰 영역에서는 오차가 거의 발생하지 않는다.
하지만, 반대로 에너지가 작은 영역에서는 이러한 근사를 사용해서는 안된다는 것을 그래프를 통해서 볼 수 있다.
Thermal equilibrium state(열적 평형 상태)
위에서 나온 진동 테이블을 2차원으로 보도록 하자.
가 전자대에서 전도대로 이동하는 생성(generation)과 반대의 경우인 재결합(recombination)이 있다.
- 가전자대에서 전도대로 이동하는 경우 Ec에는 전자 +1, Ev에는 홀 +1 이 생성된다.
- 전도대에서 가전자대로 이동하는 경우 Ec에는 전자가 하강, Ev에는 내려온 전자가 홀과 결합하여 사라지게 된다.
<이를 외부에서 관측하였을 때 n&p가 균형을 이루고 있기 때문에 n = p이다.>
열평형 상태:
– 전기장(electric field) = 0, 자기장(magnetic field) = 0
– mechanical stress = 0
– 빛없음
– 단, 열 에너지(kT)는 허용된다. T = 상수(일정)
열적 평형 상태에서는 생성과 재결합이 완벽한 균형을 이루고 있기에 열적 평형 상태에서는 전자 & 홀의 농도가 변하지 않는 것처럼 보이는 상황이 된다.
<= 열적 평형 상태의 전자 , 정공 농도이다.
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