4.1.1 평형상태의 전자와 정공 분포
이전 글을 통해 배운 내용인 확률 함수 & 양자 상태 밀도의 곱을 통해 농도의 분포를 구해낸다.
i) 전자의 경우
fF(E) = 페르미 - 디락 확률함수
gc(E) = 전도대의 양자상태 밀도
n(E) = 전자 농도의 분포
=> n(E) = gc(E) * fF(E)이다.
ii) 정공의 경우
1-fF(E) = 양자상태가 전자에 의해 채워지지 않을 확률
gv(E) = 가전자대의 양자상태 밀도
p(E) = 정공의 분포
=> P(E) = gv(E) * [1-fF(E)]
* n0, p0 (열적 평형상태의 전자, 정공의 농도)를 구하기 위해서는 EF(페르미 에너지)의 위치를 결정하는 것이 필요하다.
i) T = 0K 에서 가전자 대에는 전자가 가득 차 있고, 전도대 에는 전자가 비어있다.
이를 보았을 때, Ev < Ef < Ec 사이에 페르미 에너지가 존재함을 알 수 있게 된다.
※ 페르미 에너지는 허용 에너지 밴드에 절대적으로 있어야 하는 것은 아니다.
ii) T > 0K 에서 가전자대는 열에너지를 얻어, 전도대로 전자들이 일부 상승함에 따라 가전자대에 정공이 생성된다.
따라서, 정공(가전자대)의 수 = 전자(전도대)의 수라는 것을 알 수 있게 된다.
이때, Ef는 대략 Ec & Ev의 중간 정도에 위치한다.
만약 정공의 유효 질량 = 전자의 유효 질량의 경우, gc(E)와 gv(E)는 중간 갭 에너지에 대해 대칭 함수가 된다.
반대로 생각을 해본다면, 서로의 유효 질량이 다르면 상태 밀도 함수인 gc(E)와 gv(E)는 중간 갭 에너지에 대해 대칭되지 않고, 진성반도체에서 전자&정공 농도가 같기 위해 Ef(페르미 에너지)가 중간 에너지로부터 약간 이동을 한다.
진성반도체 : 이상적인 진성반도체는 불순물과 결함이 전혀 없는 순수 반도체이다.
4.1.2 n0 & p0 방정식
다음 공식은 열평형 상태의 전자 농도이다.
이 공식에서 사용되는 범위는 Ec(전도대 에너지 하단)부터 전도대 에너지 상단이다.
그러나 에너지가 증가함에 따라 페르미 확률 함수는 0에 접근하므로 전도대 에너지 상단은 무한대로 취하여도 큰 오차가 없기에 적분 계산이 간단해지는 무한대로 나타낸다.
위와 같은 방식을 통하여 열평형 상태의 정공 농도 또한, 가전자대 하단 부분을 무한대로 취하여 계산한다.
식을 전개할 때에 f(E) 공식 내의 [ E - EF >> kT ] 조건을 만족한다면 볼츠만 근사식 을 사용하여 식을 단순화시킨다.
볼츠만 근사를 식에 적용하면 전도대의 열평형 상태 전자 농도는 위와 같이 주어진다.
이후 해당 식 안의 함수를 치환하여 식을 쉽게 풀어낸다.
다음 과정을 통해 변수를 치환 후 , 범위를 다시 설정해 주면 0 ~ 무한대라는 범위가 나오게 된다.
이때, exp(-(Ec-Ef)/kt)라는 공식이 나오게 되는데 이 변수는 치환을 하였던 공식 변환 과정을 거쳐 나오게 되었다.
exp (-(E - Ef + Ec - Ec) / kt) 이 과정을 거치면 다음과 같은 식이 나오게 된다.
뒤의 적분의 경우 감마 함수에 의해 루트 파이/2의 값이 나오게 되며 식이 위와 같이 정리가 되고,
최종적으로는 상수 부분인 식을 Nc(전도대의 유효 상태 밀도 함수)로 적으며 다음과 같은 공식이 나오게 된다.
정공 농도 또한 전자 농도와 같은 공식을 거쳐 다음과 같은 공식이 나오게 된다.
이때, 전자와 정공의 농도를 구하는 최종식의 경우 처음에 볼츠만 근사식의 조건을 사용해 나온 식이기에, E - Ef >> kT 가 만족하여야만 사용이 가능하다.
페르미 위치에 따른 변화
N - type 반도체
- Ef 가 Ec에 가까울수록 전자의 농도가 높아지게 된다. (n0 > p0)
- 다수 캐리어 : 전자
- 소수 캐리어 : 정공
P - type 반도체
- Ef 가 Ev에 가까울수록 정공의 농도가 높아지게 된다. (n0 <p0)
- 다수 캐리어 : 정공
- 소수 캐리어 : 전자
그렇기에 Ef 위치만 알아도 반도체 내에서 전자(n타입) 혹은 정공(p타입) 중 더 많은 것을 예측할 수 있다.
전자 친화도의 단위와 일함수의 단위는 표기 방식에 따라 다르게 정의된다.
에너지 밴드 다이어그램은 전자의 위치 에너지를 그린 그림이다.
즉, 에너지에 대한 그림이기에 단위가 [eV]이지만, 전자 친화도와 일함수는 [V]의 단위를 사용한다.
※위의 그림 속 에너지 밴드에 표현할 경우 [V] 단위를 [eV]로 변환해야 하기에 q를 곱하여 단위를 변환해 준 것이다.
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